Chứng minh rằng: < < . Từ đó suy ra: 2004 < 1 + + + ..... +

Câu hỏi số 41894:

Chứng minh rằng: $2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}$ < $\frac{1}{\sqrt{n}}$ < $2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}$ . Từ đó suy ra: 2004 < 1 + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ..... + $\frac{1}{\sqrt{1006009}}$ < 2005

A. Click để xem lời giải.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:41894

Giải chi tiết

$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=\frac{2(n+1-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ < $\frac{2}{2\sqrt{n}}$ $=\frac{1}{\sqrt{n}}$

(vì $\sqrt{n+1}$ > $\sqrt{n}$ )

$2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=\frac{2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=$

$=\frac{2[n-(n-1)]}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$ > $\frac{2}{2\sqrt{n}}$ $=\frac{1}{\sqrt{n}}$

Do đó $2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}$ < $\frac{1}{\sqrt{n}}$ < $2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}$

Áp dụng hệ thức (*) ta có:

$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$ < $\frac{1}{\sqrt{2}}$ < $2\sqrt{2}-2\sqrt{1}$

$2\sqrt{4}-2\sqrt{3}$ < $\frac{1}{\sqrt{3}}$ < $2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}-2\sqrt{4}$ < $\frac{1}{\sqrt{4}}$ < $2\sqrt{4}-2\sqrt{3}$

$2\sqrt{6}-2\sqrt{5}$ < $\frac{1}{\sqrt{5}}$ < $2\sqrt{5}-2\sqrt{4}$

..............................................................

$2\sqrt{1006010}-2\sqrt{1006009}$ < $\frac{1}{\sqrt{1006009}}$ < $2\sqrt{1006009}-2\sqrt{1006008}$

Cộng hai vế của các bất đẳng thức trên ta có:

2006 - 3 < $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + $\frac{1}{\sqrt{4}}$ + ....... + $\frac{1}{\sqrt{1006009}}$ < 2006 -2

Vậy 2004 < 1 + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ..... + $\frac{1}{\sqrt{1006009}}$ < 2005

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link