Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông

Câu hỏi số 421517:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $BH.BA = BK.BC$ .

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421517

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

$\angle BHE = {90^0}$ (do $EH \bot AB$ )

$\angle BKE = {90^0}$ (do $EK \bot BC$ )

Tứ giác $BHEK$ có $\angle BHE + \angle BKE = {90^0} + {90^0} = {180^0}$ nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180^0}$ ) (đpcm)

2) Chứng minh $BH.BA = BK.BC$ .

Theo câu a) tứ giác $BHEK$ nội tiếp nên $\angle BKH = \angle BEH$ (cùng chắn cung $BH$ )

Ta có:

$\angle BEH + \angle EBH = {90^0}$ (do tam giác $BHE$ vuông tại $H$ ).

$\angle BAE + \angle EBH = {90^0}$ (do tam giác $ABE$ vuông tại $E$ ).

Nên $\angle BEH = \angle BAE$ (cùng phụ với $\angle EBH$ ).

Mà $\angle BKH = \angle BEH$ (cmt) nên $\angle BKH = \angle BAE\,\,\,\left( { = \angle BEH} \right)$ .

Xét $\Delta BHK$ và $\Delta BCA$ có:

$\angle ABC$ chung

$\angle BKH = \angle BAE = \angle BAC$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BCA\,\,\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow BH.BA = BK.BC$ (đpcm).

Gọi $I'$ là giao điểm của HK và EF.

Xét tứ giác $BFEC$ có: $\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)$ nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh các góc bằng nhau).

$\Rightarrow \angle {B_1} = \angle {F_1}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$ ).

Ta có: $EH//CF$ (cùng vuông góc $AB$ )

$\Rightarrow \angle {F_1} = \angle {E_1}$ (so le trong)

Do đó $\angle {B_1} = \angle {E_1}$ (1).

Theo câu a, tứ giác $BHEK$ nội tiếp nên $\angle {B_1} = \angle {H_1}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EK$ ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\angle {H_1} = \angle {E_1}$

Tam giác $I'HE$ có $\angle {H_1} = \angle {E_1}$ nên là tam giác cân (định nghĩa).

$\Rightarrow I'H = I'E$ (tính chất tam giác cân) (3)

Lại có:

$\angle {H_1} + \angle {H_2} = \angle BHE = {90^0}$

$\angle {F_2} + \angle {E_1} = {90^0}$ (do tam giác $HEF$ vuông tại $H$ ).

Nên $\angle {H_2} = \angle {F_2}$ hay tam giác $I'HF$ cân tại $I'$ (định nghĩa).

$\Rightarrow I'H = I'F$ (tính chất tam giác cân) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $I'E = I'F$ hay $I'$ là trung điểm của $EF$ .

Do đó $I' \equiv I$ nên ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.