Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông

Câu hỏi số 421517:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC.

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \(BH.BA = BK.BC\).

3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi:421517

Giải chi tiết

1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có:

\(\angle BHE = {90^0}\) (do \(EH \bot AB\))

\(\angle BKE = {90^0}\) (do \(EK \bot BC\))

Tứ giác \(BHEK\) có \(\angle BHE + \angle BKE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (đpcm)

2) Chứng minh \(BH.BA = BK.BC\).

Theo câu a) tứ giác \(BHEK\) nội tiếp nên \(\angle BKH = \angle BEH\) (cùng chắn cung \(BH\))

Ta có:

\(\angle BEH + \angle EBH = {90^0}\) (do tam giác \(BHE\) vuông tại \(H\)).

\(\angle BAE + \angle EBH = {90^0}\) (do tam giác \(ABE\) vuông tại \(E\)).

Nên \(\angle BEH = \angle BAE\) (cùng phụ với \(\angle EBH\)).

Mà \(\angle BKH = \angle BEH\) (cmt) nên \(\angle BKH = \angle BAE\,\,\,\left( { = \angle BEH} \right)\).

Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) có:

\(\angle ABC\) chung

\(\angle BKH = \angle BAE = \angle BAC\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BHK \sim \Delta BCA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BA}}\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow BH.BA = BK.BC\) (đpcm).

Gọi \(I'\) là giao điểm của HK và EF.

Xét tứ giác \(BFEC\) có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {F_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EC\)).

Ta có: \(EH//CF\) (cùng vuông góc \(AB\))

\( \Rightarrow \angle {F_1} = \angle {E_1}\) (so le trong)

Do đó \(\angle {B_1} = \angle {E_1}\) (1).

Theo câu a, tứ giác \(BHEK\) nội tiếp nên \(\angle {B_1} = \angle {H_1}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EK\)) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {H_1} = \angle {E_1}\)

Tam giác \(I'HE\) có \(\angle {H_1} = \angle {E_1}\) nên là tam giác cân (định nghĩa).

\( \Rightarrow I'H = I'E\) (tính chất tam giác cân) (3)

Lại có:

\(\angle {H_1} + \angle {H_2} = \angle BHE = {90^0}\)

\(\angle {F_2} + \angle {E_1} = {90^0}\) (do tam giác \(HEF\) vuông tại \(H\)).

Nên \(\angle {H_2} = \angle {F_2}\) hay tam giác \(I'HF\) cân tại \(I'\) (định nghĩa).

\( \Rightarrow I'H = I'F\) (tính chất tam giác cân) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(I'E = I'F\) hay \(I'\) là trung điểm của \(EF\).

Do đó \(I' \equiv I\) nên ba điểm \(H,I,K\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.