Giải phương trình \(\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1.\)

Câu hỏi số 421518:

Vận dụng cao

A. \(x = \dfrac{2}{3}\)

B. \(x = 1\)

C. \(x = 2\)

D. \(x = \dfrac{11}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:421518

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{2}{3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {3x - 2} = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2\sqrt {3x - 2} = 2{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 2\sqrt x - 2\sqrt {3x - 2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4x - 2\sqrt x - 2\sqrt {3x - 2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + \left( {3x - 2 - 2\sqrt {3x - 2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ge \dfrac{2}{3}\) nên

\(\begin{array}{l}2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\sqrt x - 1 = 0\\\sqrt {3x - 2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\\\sqrt {3x - 2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\3x - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.