Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi
Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi D,E,F là chân các đường cao lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB và H là trực tâm của ΔABC. Vẽ đường kính AK.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
b) Trong trường hợp ΔABC không cân, gọi M là trung điểm của BC. Hãy chứng minh FC là phân giác của ∠DFE và bốn điểm M,D,F,E cùng nằm trên một đường tròn.
c) Khi BC và đường tròn (O;R) cố định, điểm A thay đổi trên đường tròn sao cho ΔABC luôn nhọn, đặt BC=a. Tìm vị trí của điểm A để tổng P=DE+EF+DF lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo a và R.
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành: Tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành.
b) Vận dụng tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh E,F,D,M cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi EF∩OA={I}, chứng minh được OA⊥EF
Xác định được EF+FD+DE=2SABCR
Kéo dài OM cắt (O) tại A′ ⇒A′M⊥BC.
Biện luận và kết luận điều phải chứng minh.
a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
Ta có: ∠ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ⇒∠ABK=900 hay AB⊥BK.
Mà CF⊥AB(gt) ⇒CF∥BK hay CH∥BK(1) (Từ vuông góc đến song song).
Ta có: ∠ACK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ⇒∠ACK=900 hay AC⊥CK.
Mà BE⊥AC(gt) ⇒BE∥CK hay BH∥CK(2) (Từ vuông góc đến song song).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành. (dhnb)
b) Trong trường hợp ΔABC không cân, gọi M là trung điểm của BC. Hãy chứng minh FC là phân giác của ∠DFE và bốn điểm M,D,F,E cùng nằm trên một đường tròn.
Xét tứ giác BFHD ta có: ∠BFD+∠BHD=900+900=1800
Mà hai góc này là hai góc đối diện
⇒BFHD là tứ giác nội tiếp (dhnb).
⇒∠HFD=∠HBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) (3)
Xét tứ giác AEHF ta có: ∠AEH+∠AFH=900+900=1800
Mà hai góc này là hai góc đối diện
⇒AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).
⇒∠HFE=∠HAE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) (4)
Xét tứ giác AEDB ta có: AEB=∠ADB=900
⇒AEDB là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng kề nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).
⇒∠DAE=∠DBE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE) (5)
Từ (3),(4),(5) suy ra: ∠EAD=∠EFH=∠HFD=∠HBD
Hay ∠EFC=∠CFD ⇒FC là phân giác của ∠DFE (đpcm).
Xét ΔEBC vuông tại E có đường trung tuyến EM ⇒EM=BM=12BC
⇒ΔEBM cân tại M (tính chất tam giác cân).
⇒∠MEB=∠EBM ⇒∠EMC=∠MEB+∠EBM=2∠EBM (góc ngoài của tam giác)
Lại có: ∠EFD=2∠HFD=2∠HBD=2∠EBM(cmt)
⇒∠EMC=∠EFD(=2∠EBM)
⇒EFDM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Hay E,F,D,M cùng thuộc một đường tròn.
c) Khi BC và đường tròn (O;R) cố định, điểm A thay đổi trên đường tròn sao cho ΔABC luôn nhọn, đặt BC=a. Tìm vị trí của điểm A để tổng P=DE+EF+DF lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo a và R.
Gọi EF∩OA={I}.
Ta có: ∠FAI=∠BCK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK).
Xét tứ giác BFEC có: ∠BEC=∠BFC=900(gt), do đó tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
⇒∠AFI=∠ACB (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
⇒∠FAI+∠AFI=∠BCK+∠ACB=∠ACK=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒OA⊥EF.
CMTT ta có OB⊥FD, OC⊥ED.
Ta có: SOEAF=12OA.EF (tứ giác có 2 đường chéo vuông góc).
SOFBD=12OB.FD
SODCE=12OC.DE.
⇒SOEAF+SOFBD+SODCE=12OA.EF+12OB.FD+12OC.DE⇒SABC=12R.EF+12R.FD+12R.DE⇒SABC=12R.(EF+FD+DE)⇒EF+FD+DE=2SABCR
Kéo dài OM cắt (O) tại A′ ⇒A′M⊥BC(doOM⊥BC).
Khi đó ta có: SABC=12AD.BC≤12A′M.BC.
Áp dụng định í Pytago trong tam giác vuông OMC ta có: OM=√OC2−CM2=√R2−a24.
⇒A′M=OA′+OM=R+√R2−a24.
⇒SABC≤a2(R+√R2−a24).
⇒EF+FD+DE≤a(R+√R2−a24)R.
Dấu “=” xảy ra ⇔A≡A′, khi đó điểm A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
Vậy P=DE+EF+DF đạt giá trị lớn nhất điểm A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
