Cho ba số thực dương $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $abc = 1$ . Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2}

Câu hỏi số 421556:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $abc = 1$ .

Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2} + 3}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2{c^2} + 3}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2{a^2} + 3}} \le \dfrac{1}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:421556

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết: ${a^2} + 2{b^2} + 3 = {a^2} + {b^2} + {b^2} + 1 + 2$

Áp dụng BĐT Cô-si

Giải chi tiết

Ta có: ${a^2} + 2{b^2} + 3 = {a^2} + {b^2} + {b^2} + 1 + 2$ .

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + 1 \ge 2b\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {b^2} + 1 + 2 \ge 2ab + 2b + 2 = 2\left( {ab + b + 1} \right)$ .

CMTT ta có:

$\dfrac{1}{{{b^2} + 2{c^2} + 3}} \le \dfrac{1}{{2\left( {bc + c + 1} \right)}};\,\,\dfrac{1}{{{c^2} + 2{a^2} + 3}} \le \dfrac{1}{{2\left( {ca + a + 1} \right)}}$ .

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2} + 3}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2{c^2} + 3}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2{a^2} + 3}}\\ \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{ab + b + 1}} + \dfrac{1}{{bc + c + 1}} + \dfrac{1}{{ca + a + 1}}} \right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{ab + b + 1}} + \dfrac{1}{{bc + c + 1}} + \dfrac{1}{{ca + a + 1}}\\ = \dfrac{1}{{ab + b + 1}} + \dfrac{{ab}}{{a{b^2}c + abc + ab}} + \dfrac{b}{{bca + ab + b}}\\ = \dfrac{1}{{ab + b + 1}} + \dfrac{{ab}}{{c + 1 + ab}} + \dfrac{b}{{1 + ab + b}}\\ = \dfrac{{ab + b + 1}}{{ab + b + 1}} = 1\end{array}$

Vậy $\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2} + 3}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2{c^2} + 3}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2{a^2} + 3}} \le \dfrac{1}{2}$ . Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ .

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho ba số thực dương $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $abc = 1$ . Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2}

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho ba số thực dương a,b,ca,b,ca,\,\,b,\,\,c thỏa mãn abc=1abc=1abc = 1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2}

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho ba số thực dương $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn $abc = 1$ . Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^2} + 2{b^2}