Cho hệ phương trình với tham số \(m:\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x - y = 3\\mx + y =

Câu hỏi số 421554:

Vận dụng

Cho hệ phương trình với tham số \(m:\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x - y = 3\\mx + y = m\end{array} \right..\)

Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) thỏa mãn \({x_0} + {y_0} > 0.\)

A. \(m < -\dfrac{1}{2}\)

B. \(m \le -\dfrac{1}{2}\)

C. \(m \ge -\dfrac{1}{2}\)

D. \(m > -\dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:421554

Phương pháp giải

Vận dụng phương pháp cộng đại số, xác định được nghiệm của hệ phương trình

Áp dụng điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, suy ra được điều kiện của tham số \(m\)

Thay nghiệm của hệ vào giả thiết của đề bài, xác định được tham số \(m\)

Đối chiếu điều kiện, kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x - y = 3\\mx + y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right)x - m + mx = 3\\y = m - mx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2m + 1} \right)x = m + 3\,\,\,\left( * \right)\\y = m - mx\end{array} \right.\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - \dfrac{1}{2}.\)

Khi đó ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}}\,\,\left( {m \ne - \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = m - mx = m - \dfrac{{m\left( {m + 3} \right)}}{{2m + 1}}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{2{m^2} + m - {m^2} - 3m}}{{2m + 1}}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{m^2} - 2m}}{{2m + 1}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Với \(m \ne - \dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) = \left( {\dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}};\,\,\dfrac{{{m^2} - 2m}}{{2m + 1}}} \right).\)

Theo bài ra ta có: \({x_0} + {y_0} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}} + \dfrac{{{m^2} - 2m}}{{2m + 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - m + 3}}{{2m + 1}} > 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \({m^2} - m + 3 = {m^2} - 2.\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{11}}{4}\) \( = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}\)

Kết hợp với điều kiện \(m \ne - \dfrac{1}{2}\) ta được \(m > - \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(m > - \dfrac{1}{2}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.