Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương

Câu hỏi số 422622:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} + 5x + m - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) thỏa mãn hệ thức

\(\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\)

A. \(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \)

B. \(m = - 2 \pm 2\sqrt 2 \)

C. \(m = \pm 2\)

D. \(m = \pm 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:422622

Giải chi tiết

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} \ne 1,\,\,{x_2} \ne 1\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 + 5 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\m + 4 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 4m + 8 > 0\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m < 33\\m \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m \ne - 4\end{array} \right.\).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}.{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1} + 1 + x_2^2 - 2{x_2} + 1 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = {\left[ {{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Rightarrow 25 - 2\left( {m - 2} \right) - 2.\left( { - 5} \right) + 2 = {\left( {m - 2 + 5 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 - 2m + 4 + 10 + 2 = {\left( {m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2m + 41 = {m^2} + 8m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 25 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \({\Delta _m} = {\left( { - 5} \right)^2} - \left( { - 25} \right) = 50 > 0\), do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{ - 10 + \sqrt {50} }}{2} = - 5 + 5\sqrt 2 \\{m_1} = \dfrac{{ - 10 - \sqrt {50} }}{2} = - 5 - 5\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m = - 5 \pm 5\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link