Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\), với \(m\) là tham số a) Chứng minh

Câu hỏi số 422644:

Thông hiểu

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\), với \(m\) là tham số

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

b) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc \(m\).

Xem lời giải

Câu hỏi:422644

Giải chi tiết

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( {m - 4} \right)\\ = {m^2} + 2m + 1 - m + 4\\ = {m^2} + m + 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = {m^2} + 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{19}}{4}\\ = {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4}\end{array}\)

Vì \({\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\) nên \({\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \ge \dfrac{{19}}{4} > 0\) với mọi \(m\)

Hay \(\Delta ' > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

b) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\) không phụ thuộc \(m\).

Theo câu a) phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = m - 4\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = {x_1}\left( {1 - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {1 - {x_1}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {x_1} - {x_1}{x_2} + {x_2} - {x_1}{x_2}\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2}\\ = 2m + 2 - 2\left( {m - 4} \right)\\ = 2m + 2 - 2m + 8\\ = 10\end{array}\)

Vậy \(A = 10\) không phụ thuộc vào \(m.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.