Giải phương trình \(\cos x\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - \sin x\sin \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{{3x}}{2} =

Câu hỏi số 424907:

Vận dụng

Giải phương trình \(\cos x\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - \sin x\sin \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{1}{2}\).

A. \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\)\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

B. \(x =\dfrac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = -\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\) \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ;\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

C. \(x = \pm\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\)\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

D. \(x = - \dfrac{\pi }{8} + k\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;\)\(x = -\dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{k\pi}}{{6}} ;\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{k\pi}}{{6}} \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:424907

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\), \(\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Đưa phương trình về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos x\cos \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - \sin x\sin \dfrac{x}{2}\sin \dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\sin x\left( {\cos 2x - \cos x} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos x\cos 2x + {\cos ^2}x + \sin x\cos 2x - \sin x\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \sin x\cos x + {\cos ^2}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \sin x\cos x - {\sin ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) - \sin x\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos 2x - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos 2x - \sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \cos x\\1 - 2{\sin ^2}x - \sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\\\sin x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\)\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,\,x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.