Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\,\,\left( {AC < BC} \right)\), gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Câu hỏi số 434341:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\,\,\left( {AC < BC} \right)\), gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Kẻ \(IE \bot BC\) tại \(E\), kẻ \(IF \bot AC\) tại \(F\).

a) Chứng minh tứ giác \(CEIF\) là hình chữ nhật.

b) Gọi \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(CHFE\) là hình bình hành.

c) \(CI\) cắt \(BF\) tại \(G\), \(O\) là trung điểm của \(FI\). Chứng minh ba điểm \(A,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434341

Phương pháp giải

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

b) Áp dụng tính chất của hình chữ nhật, hai điểm đối xứng nhau qua một điểm.

c) Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác; Dấu hiệu nhận biết, tính chất hình bình hành; Tính chất hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(CEIF\) là hình chữ nhật.

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\angle C = {90^0}\).

Ta lại có: \(IE \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\) tại \(E\) và \(IF \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\) tại \(F\).

\( \Rightarrow \angle E = {90^0},\,\,\angle F = {90^0}\)

Xét tứ giác \(IFCE\) ta có: \(\angle C = \angle E = \angle F = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(IFCE\) là hình chữ nhật (dhnb).

b) Gọi \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(CHFE\) là hình bình hành.

Vì tứ giác \(IFCE\) là hình chữ nhật nên \(IF = CE\) và \(IF\,{\rm{//}}\,CE\).

Vì \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(F\) nên \(IF = HF\) và \(H,\,\,F,\,\,I\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow CE = HF\,\,\left( { = FI} \right)\) và \(CE\,{\rm{//}}\,HF\,.\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CHFE\) là hình bình hành (dhnb).

c) \(CI\) cắt \(BF\) tại \(G\), \(O\) là trung điểm của \(FI\). Chứng minh ba điểm \(A,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.

*) Chứng minh \(A,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng

Xét tam giác \(ABC\) ta có:

\(I\) là trung điểm của \(AB\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\(IF\,{\rm{//}}\,BC\)(do \(CEIF\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow F\) là trung điểm \(AC\) (định lý đảo).

Chứng minh tương tự ta được \(E\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow BF,\,\,AE\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

Mà \(CI\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) và \(BF \cap CI = \left\{ G \right\}\).

\( \Rightarrow \)\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

\( \Rightarrow A,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng (1)

*) Chứng minh \(A,\,\,O,\,\,E\) thẳng hàng

Vì \(CEIF\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow IE = CF\) (tính chất hình chữ nhật)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AF = FC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\IE = FC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AF = IE\\AF\,{\rm{//}}\,IE\end{array} \right\} \Rightarrow \) Tứ giác \(AFEI\) là hình bình hành.

Mà \(O\) là trung điểm của \(IF\) \( \Rightarrow O\) cũng là trung điểm của \(AE\).

\( \Rightarrow A,\,\,O,\,\,E\) thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link