Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm di động trên các cạnh \(AB\) và

Câu hỏi số 434414:

Vận dụng cao

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm di động trên các cạnh \(AB\) và \(CD\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}}.\) Chứng minh rằng trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) thuộc một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434414

Phương pháp giải

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Ba điểm \(I,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IE} = k\overrightarrow {IF} \,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {CD} \end{array} \right..\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right).\end{array}\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\) \( \Rightarrow \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EI} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {EI} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CN} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {CD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \dfrac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {CD} } \right) = k\overrightarrow {EF} \end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {EI} ,\,\,\overrightarrow {EF} \) cùng phương \( \Rightarrow E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow I\) luôn thuộc đường thẳng \(EF\) cố định. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.