Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm di động trên các cạnh \(AB\) và

Câu hỏi số 434414:
Vận dụng cao

Cho tứ giác \(ABCD.\) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm di động trên các cạnh \(AB\) và \(CD\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}}.\) Chứng minh rằng trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) thuộc một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Câu hỏi:434414
Phương pháp giải

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Ba điểm \(I,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IE}  = k\overrightarrow {IF} \,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}}\)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = k\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN}  = k\overrightarrow {CD} \end{array} \right..\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {EF}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF} \\ =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\ =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} } \right).\end{array}\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\) \( \Rightarrow \overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN}  = 2\overrightarrow {EI} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {EI}  = \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {CN} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CN}  = k\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {CD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {EI}  = \dfrac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {CD} } \right) = k\overrightarrow {EF} \end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {EI} ,\,\,\overrightarrow {EF} \) cùng phương \( \Rightarrow E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow I\) luôn thuộc đường thẳng \(EF\) cố định. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com