Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh $AB$ và

Câu hỏi số 434414:

Vận dụng cao

Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là các điểm di động trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}}.$ Chứng minh rằng trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ thuộc một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434414

Phương pháp giải

Gọi $E,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,BD.$

Ba điểm $I,\,\,E,\,\,F$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {IE} = k\overrightarrow {IF} \,\,\left( {k \ne 0} \right).$

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: $\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CD}}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {CD} \end{array} \right..$

Gọi $E,\,\,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,BD.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\ = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right).\end{array}$

Vì $I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EI}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {EI} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CN} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {CD} \\ \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \dfrac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {CD} } \right) = k\overrightarrow {EF} \end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow {EI} ,\,\,\overrightarrow {EF}$ cùng phương $\Rightarrow E,\,\,I,\,\,F$ thẳng hàng.

$\Rightarrow I$ luôn thuộc đường thẳng $EF$ cố định. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.