Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M,\,\,N,\,\,P$ là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow

Câu hỏi số 434421:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M,\,\,N,\,\,P$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} ,$ $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 ,$ $2\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 .$

a) Biểu diễn $\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .$

b) Chứng minh $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434421

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc chèn điểm và các giả thiết bài cho để biểu diễn $\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .$

b) Ba điểm $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP} \,\,\,\left( {k \ne 0} \right).$

Giải chi tiết

a) Biểu diễn $\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .$

Ta có:

$\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MA}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} .$

$\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AC}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$

$2\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}$

b) Chứng minh $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM}$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB}$ $= - 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .$

$\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM}$ $= \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB}$ $= - \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {MP}$ $\Rightarrow \overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {MP}$ cùng phương $\Rightarrow M,\,N,\,P$ thẳng hàng. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.