Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow

Câu hỏi số 434421:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} ,\) \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 ,\) \(2\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 .\)

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)

b) Chứng minh \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434421

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc chèn điểm và các giả thiết bài cho để biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)

b) Ba điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP} \,\,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Giải chi tiết

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} .\)

\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AC} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\)

\(2\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

b) Chứng minh \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} \) \( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \) \( = - 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\)

\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} \) \( = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \)\( = - \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {MP} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) cùng phương \( \Rightarrow M,\,N,\,P\) thẳng hàng. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.