Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow

Câu hỏi số 434421:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} ,\) \(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 ,\) \(2\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 .\)

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)

b) Chứng minh \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434421

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc chèn điểm và các giả thiết bài cho để biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)

b) Ba điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP} \,\,\,\left( {k \ne 0} \right).\)

Giải chi tiết

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {AP} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} .\)

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MA} \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {MA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} .\)

\(\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow - 2\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {AC} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\)

\(2\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

b) Chứng minh \(M,\,\,N,\,\,P\) thẳng hàng.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} \) \( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \) \( = - 2\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\)

\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} \) \( = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \)\( = - \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {MP} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) cùng phương \( \Rightarrow M,\,N,\,P\) thẳng hàng. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.