Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\) trên

Câu hỏi số 434423:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,\,2} \right].\)

A. \(-4\)

B. \(-5\)

C. \(5\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434423

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,\,2} \right]\) bằng cách đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = {x^2} - 2x.\) Khi đó ta có: với \(x \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;\,\,4} \right].\)

Khảo sát hàm số \(y = g\left( t \right)\) trên \(\left[ { - 1;\,\,4} \right]\) để tìm GTLN và GTNN cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow y = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\)

Đặt \(t = {x^2} - 2x\) với \(x \in \left[ { - 2;\,\,\,2} \right]\) ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;\,\,4} \right].\)

Xét hàm số \(y = t\left( {t - 4} \right) = {t^2} - 4t\) trên \(\left[ { - 1;\,\,4} \right]\) ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;\,\,4} \right]} y = 5\,\,\,khi\,\,\,t = - 1\\\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 1;\,\,4} \right]} y = - 4\,\,\,khi\,\,\,t = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} y = 5\) khi \({x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow x = 1.\)

\(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} y = - 4\) khi \({x^2} - 2x = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \) \(\left( {x = 1 + \sqrt 3 \,\, \notin \left[ { - 2;\,\,2} \right]} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.