Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)$ trên

Câu hỏi số 434423:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;\,\,2} \right].$

- 4

$-4$

- 5

$-5$

5

$5$

4

$4$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434423

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số $y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;\,\,2} \right]$ bằng cách đặt ẩn phụ.

Đặt $t = {x^2} - 2x.$ Khi đó ta có: với $x \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]$ thì $t \in \left[ { - 1;\,\,4} \right].$

Khảo sát hàm số $y = g\left( t \right)$ trên $\left[ { - 1;\,\,4} \right]$ để tìm GTLN và GTNN cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có: $y = x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)$ $\Leftrightarrow y = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {{x^2} - 2x - 4} \right)$

Đặt $t = {x^2} - 2x$ với $x \in \left[ { - 2;\,\,\,2} \right]$ ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow$ Với $x \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]$ thì $t \in \left[ { - 1;\,\,4} \right].$

Xét hàm số $y = t\left( {t - 4} \right) = {t^2} - 4t$ trên $\left[ { - 1;\,\,4} \right]$ ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;\,\,4} \right]} y = 5\,\,\,khi\,\,\,t = - 1\\\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 1;\,\,4} \right]} y = - 4\,\,\,khi\,\,\,t = 2\end{array} \right..$

$\Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} y = 5$ khi ${x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow x = 1.$

$\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} y = - 4$ khi ${x^2} - 2x = 2$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3$ $\left( {x = 1 + \sqrt 3 \,\, \notin \left[ { - 2;\,\,2} \right]} \right).$

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.