Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi

Câu hỏi số 439325:

Vận dụng cao

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(O\) qua trọng tâm của các tam giác \(SAB,\,\,SBC,\,\,SCD,\,\,SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với \(S\) qua \(O\). Thể tích khối chóp \(S'MNPQ\) bằng

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{9}.\)

B. \(\dfrac{{20\sqrt 2 {a^3}}}{{81}}\).

C. \(\dfrac{{40\sqrt 2 {a^3}}}{{81}}.\)

D. \(\dfrac{{10\sqrt 2 {a^3}}}{{81}}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:439325

Phương pháp giải

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Bh.\)

Giải chi tiết

Ta có : \(AC = a\sqrt 2 .\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi \(G,\,\,K\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta SAB\) và \(\Delta SCD\).

\( \Rightarrow GK = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}a = \dfrac{{2a}}{3}.\) (tính chất trọng tâm tam giác)

\( \Rightarrow MP = 2GK = \dfrac{4}{3}a\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tương tự ta được: \(NQ = \dfrac{4}{3}a\).

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MP.NQ = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{4}{3}a} \right)^2} = \dfrac{8}{9}{a^2}\) .

Ta có: \(\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = 2d\left( {G,\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

\( \Rightarrow d\left( {\left( {MNPQ} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = S'O + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{S'MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{5a\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{20\sqrt 2 {a^3}}}{{81}}\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.