Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$ , góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Câu hỏi số 443395:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$ , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ${45^0}$ . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

a \sqrt{3}

$a\sqrt 3$

\frac{a \sqrt{3}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

\frac{a \sqrt{6}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

a \sqrt{6}

$a\sqrt 6$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443395

Phương pháp giải

- Tìm tâm mặt cầu (giao điểm của trục đường tròn đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên)

- Tính bán kính dựa vào tam giác và các kiến thức hình học đã biết.

Giải chi tiết

Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC,SA$ ; $H$ là tâm tam giác $ABC$ .

$\Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)$ và $\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,AH} \right)} = \widehat {SAH} = {45^0}$

$\Rightarrow \Delta SHA$ vuông cân.

$SH$ cắt mặt phẳng trung trực của $SA$ tại $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có: $AM = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = a\sqrt 3$

$\Rightarrow SH = AH = a\sqrt 3$ $\Rightarrow SA = \sqrt {A{H^2} + S{H^2}} = a\sqrt 6$

Xét $\Delta SNI$ đồng dạng $\Delta SHA$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SH}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SN.SA}}{{SH}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}S{A^2}}}{{SH}}$ $= \dfrac{{\dfrac{1}{2}.{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = a\sqrt 3$

Vậy $R = SI = a\sqrt 3$ .

Chọn A.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.