Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Câu hỏi số 443395:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({45^0}\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(a\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

D. \(a\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Tìm tâm mặt cầu (giao điểm của trục đường tròn đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên)

- Tính bán kính dựa vào tam giác và các kiến thức hình học đã biết.

Giải chi tiết

Gọi \(M,N\) là trung điểm của \(BC,SA\); \(H\) là tâm tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,AH} \right)} = \widehat {SAH} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SHA\) vuông cân.

\(SH\) cắt mặt phẳng trung trực của \(SA\) tại \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ta có: \(AM = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AM = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow SH = AH = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow SA = \sqrt {A{H^2} + S{H^2}} = a\sqrt 6 \)

Xét \(\Delta SNI\) đồng dạng \(\Delta SHA\) (g-g)

\( \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SH}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SN.SA}}{{SH}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}S{A^2}}}{{SH}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = a\sqrt 3 \)

Vậy \(R = SI = a\sqrt 3 \).

Chọn A.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:443395

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.