Một sợi dây (Không co giãn) được quấn đối xứng $10$ vòng quanh một ống

Câu hỏi số 451801:

Vận dụng

Một sợi dây (Không co giãn) được quấn đối xứng $10$ vòng quanh một ống trụ tròn đều có bán kính $R = \dfrac{2}{\pi }cm$ (như hình vẽ).

Biết rằng sợi dây có chiều dài $50cm.$ Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.

A. $80c{m^2}.$

B. $100c{m^2}.$

C. $60c{m^2}.$

D. $120c{m^2}.$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451801

Phương pháp giải

Trải mặt xung quanh của hình trụ lên một mặt phẳng, ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng chu vi đường tròn đáy $C = 2\pi R$, cạnh còn lại bằng chiều cao $h$ của đường sinh (cũng là chiều cao của ống trụ).

Sợi dây quấn 10 vòng quanh ống trụ khi trải phẳng sẽ tạo thành 10 đoạn thẳng nối tiếp nhau.

Mỗi đoạn thẳng ứng với một vòng quấn và là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là chu vi đáy $C$ và chiều cao của phần ống trụ tương ứng với 1 vòng quấn là $\frac{h}{10}$. Sử dụng định lý Pythagore để tính chiều cao $h$ của hình trụ.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq} = 2\pi Rh$.

Giải chi tiết

Chu vi đáy của ống trụ là: $C = 2\pi R = 2\pi \cdot \dfrac{2}{\pi} = 4$ ($cm$)

Vì sợi dây quấn đối xứng 10 vòng và có tổng chiều dài là $50cm$ nên chiều dài của một vòng quấn dây là:

$l = \dfrac{50}{10} = 5$ ($cm$)

Xét tam giác vuông tạo bởi một vòng quấn khi trải phẳng mặt xung quanh hình trụ, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$l^2 = C^2 + (\dfrac{h}{10})^2$ $\Leftrightarrow 5^2 = 4^2 + (\dfrac{h}{10})^2$ $\Leftrightarrow (\dfrac{h}{10})^2 = 25 - 16 = 9$ $\Leftrightarrow \dfrac{h}{10} = 3$ (do $h > 0$) $\Leftrightarrow h = 30$ ($cm$)

Diện tích xung quanh của ống trụ đó là: $S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot \dfrac{2}{\pi} \cdot 30 = 120$ ($cm^2$)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.