Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 452675:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {a + {b^2}} + \sqrt {b + {c^2}} + \sqrt {c + {a^2}} \).

A. \(\max P = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \,\,;\,\,\,\min P = 2\)

B. \(\max P = \sqrt 6 \,\,;\,\,\,\min P = 1\)

C. \(\max P = \sqrt {3 + \sqrt 3 } \,\,;\,\,\,\min P = 2\)

D. \(\max P = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \,\,;\,\,\,\min P = 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452675

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Giải chi tiết

+) Tìm \(Max\,\,P\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(P = \sqrt {a + {b^2}} + \sqrt {b + {c^2}} + \sqrt {c + {a^2}} \)\( = 1.\sqrt {a + {b^2}} + 1.\sqrt {b + {c^2}} + 1.\sqrt {c + {a^2}} \)

\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {a + {b^2} + b + {c^2} + c + {a^2}} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \) \( = \sqrt {3\left( {1 + a + b + c} \right)} \)

Tương tự ta có:

\({\left( {1.a + 1.b + 1.c} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)\( = 3.1 = 3\).

\( \Rightarrow a + b + c \le \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {3\left( {1 + a + b + c} \right)} \le \sqrt {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \\ \Rightarrow P \le \sqrt {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \end{array}\)

\( \Rightarrow Max\,\,P = \sqrt {3 + 3\sqrt 3 } \)

Dấu “=” xảy xa \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(Max\,\,P = \sqrt {3 + \sqrt 3 } \) khi \(a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

+) Tìm \(Min\,\,P:\)

Do đề bài cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

\( \Rightarrow 0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} \le a\\{b^2} \le b\\{c^2} \le c\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = \sqrt {a + {b^2}} + \sqrt {b + {c^2}} + \sqrt {c + {a^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {P^2} = a + {b^2} + b + {c^2} + c + {a^2} + 2\left( {\sqrt {\left( {a + {b^2}} \right)\left( {b + {c^2}} \right)} + \sqrt {\left( {b + {c^2}} \right)\left( {c + {a^2}} \right)} + \sqrt {\left( {c + {a^2}} \right)\left( {a + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Leftrightarrow {P^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c + 2\left( {\sqrt {\left( {a + {b^2}} \right)\left( {b + {c^2}} \right)} + \sqrt {\left( {b + {c^2}} \right)\left( {c + {a^2}} \right)} + \sqrt {\left( {c + {a^2}} \right)\left( {a + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \ge a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \ge a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + bc + {b^2} + ac + {c^2} + ab} \right)\\ = a + b + c + 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\ = a + b + c + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Rightarrow {P^2} \ge 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = 3.1 + 1 = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge 2\)

\( \Rightarrow \)Min P = 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số a, b, c có 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link