Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 452675:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {a + {b^2}} + \sqrt {b + {c^2}} + \sqrt {c + {a^2}} \).

A. \(\max P = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \,\,;\,\,\,\min P = 2\)

B. \(\max P = \sqrt 6 \,\,;\,\,\,\min P = 1\)

C. \(\max P = \sqrt {3 + \sqrt 3 } \,\,;\,\,\,\min P = 2\)

D. \(\max P = \sqrt {2 + \sqrt 2 } \,\,;\,\,\,\min P = 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:452675

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Giải chi tiết

+) Tìm \(Max\,\,P\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(P = \sqrt {a + {b^2}} + \sqrt {b + {c^2}} + \sqrt {c + {a^2}} \)\( = 1.\sqrt {a + {b^2}} + 1.\sqrt {b + {c^2}} + 1.\sqrt {c + {a^2}} \)

\( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {a + {b^2} + b + {c^2} + c + {a^2}} \right)} \)\( = \sqrt {3\left( {a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \) \( = \sqrt {3\left( {1 + a + b + c} \right)} \)

Tương tự ta có:

\({\left( {1.a + 1.b + 1.c} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)\( = 3.1 = 3\).

\( \Rightarrow a + b + c \le \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {3\left( {1 + a + b + c} \right)} \le \sqrt {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \\ \Rightarrow P \le \sqrt {3\left( {1 + \sqrt 3 } \right)} \end{array}\)

\( \Rightarrow Max\,\,P = \sqrt {3 + 3\sqrt 3 } \)

Dấu “=” xảy xa \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy \(Max\,\,P = \sqrt {3 + \sqrt 3 } \) khi \(a = b = c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.\)

+) Tìm \(Min\,\,P:\)

Do đề bài cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).

\( \Rightarrow 0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} \le a\\{b^2} \le b\\{c^2} \le c\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = \sqrt {a + {b^2}} + \sqrt {b + {c^2}} + \sqrt {c + {a^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {P^2} = a + {b^2} + b + {c^2} + c + {a^2} + 2\left( {\sqrt {\left( {a + {b^2}} \right)\left( {b + {c^2}} \right)} + \sqrt {\left( {b + {c^2}} \right)\left( {c + {a^2}} \right)} + \sqrt {\left( {c + {a^2}} \right)\left( {a + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Leftrightarrow {P^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c + 2\left( {\sqrt {\left( {a + {b^2}} \right)\left( {b + {c^2}} \right)} + \sqrt {\left( {b + {c^2}} \right)\left( {c + {a^2}} \right)} + \sqrt {\left( {c + {a^2}} \right)\left( {a + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \ge a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{c^2} + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \ge a + b + c + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {{a^2} + bc + {b^2} + ac + {c^2} + ab} \right)\\ = a + b + c + 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\ = a + b + c + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Rightarrow {P^2} \ge 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} = 3.1 + 1 = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow P \ge 2\)

\( \Rightarrow \)Min P = 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số a, b, c có 1 số bằng 1 và 2 số bằng 0.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link