Cho các số không âm \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 459477:

Vận dụng

Cho các số không âm \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)

A. \(5\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:459477

Phương pháp giải

Chứng minh \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} \le x + 1\) luôn đúng với các số không âm \(x\) thỏa mãn \(x + y + z = 1\). Từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q\).

Giải chi tiết

Vì \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số không âm và \(x + y + z = 1\) nên \(0 \le x,\,y,\,\,z \le 1\).

Chứng minh \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} \le x + 1\).

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} + x + 1} \le x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2{x^2} + x + 1} } \right)^2} \le {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 1 \le {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 1 - {x^2} - 2x - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \le 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \le 0\end{array}\)

Ta có: \(x\left( {x - 1} \right) \le 0\) luôn đúng với \(0 \le x \le 1\).

Chứng minh tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2{y^2} + y + 1} \le y + 1\\\sqrt {2{z^2} + z + 1} \le x + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow Q = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \)\( \le \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right) + \left( {z + 1} \right)\)\( = \left( {x + y + z} \right) + 3\)

Mà \(x + y + z = 1\) nên \(Q \le 4\).

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0,\,\,z = 1\\x = z = 0,\,\,y = 1\\y = z = 0,\,\,x = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(Q\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(4\) khi \(\left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( {0;\,\,0;\,\,1} \right),\,\,\left( {0;\,\,1;\,\,0} \right),\,\,\left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link