Cho 3 số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(xy + yz + zx = 3xyz.\) Chứng minh : \(\sqrt {\dfrac{x}{{3{y^2}{z^2}

Câu hỏi số 462747:

Vận dụng cao

Cho 3 số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(xy + yz + zx = 3xyz.\) Chứng minh :

\(\sqrt {\dfrac{x}{{3{y^2}{z^2} + xyz}}} + \sqrt {\dfrac{y}{{3{x^2}{z^2} + xyz}}} \)\( + \sqrt {\dfrac{z}{{3{x^2}{y^2} + xyz}}} \le \dfrac{3}{2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462747

Phương pháp giải

Đổi biến \(a = \dfrac{1}{x},b = \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z}\) thì \(a,b,c > 0\,;\)\(a + b + c = 3\)

Thay \(a + b + c = 3\) vào biểu thức để phân tích, sau đó sử dụng AM – GM.

Giải chi tiết

Từ giả thiết \(xy + yz + zx = 3xyz\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 3\).

Đặt \(a = \dfrac{1}{x},b = \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z}\) thì \(a,b,c > 0;\)\(a + b + c = 3\).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{{bc}}{{\sqrt {3a + bc} }} + \dfrac{{ca}}{{\sqrt {3b + ca} }}\)\( + \dfrac{{ab}}{{\sqrt {3a + bc} }} \le \dfrac{3}{2}\)

Có \(\dfrac{{bc}}{{\sqrt {3a + bc} }}\)\( = \dfrac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)a + bc} }}\) \( = \dfrac{{bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}\)\( \le \dfrac{{bc}}{2}\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right)\) (Theo bất đẳng thức AM – GM)

Tương tự :\(\dfrac{{ca}}{{\sqrt {3b + ca} }} \le \dfrac{{ca}}{2}\left( {\dfrac{1}{{b + a}} + \dfrac{1}{{b + c}}} \right)\)\(;\,\,\,\,\dfrac{{ab}}{{\sqrt {3c + ab} }} \le \dfrac{{ab}}{2}\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{c + b}}} \right)\)

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(\dfrac{{bc}}{{\sqrt {3a + bc} }} + \dfrac{{ca}}{{\sqrt {3b + ca} }} + \dfrac{{ab}}{{\sqrt {3c + ab} }}\)\( \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{bc + ca}}{{a + b}} + \dfrac{{bc + ab}}{{a + c}} + \dfrac{{ca + ab}}{{b + c}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \dfrac{3}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c = 1\) hay \(x = y = z = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link