Trong hình chữ nhật có chiều dài bằng \(149{\rm{ }}cm\), chiều rộng bằng \(40{\rm{ }}cm\) cho 2020

Câu hỏi số 462754:

Vận dụng cao

Trong hình chữ nhật có chiều dài bằng \(149{\rm{ }}cm\), chiều rộng bằng \(40{\rm{ }}cm\) cho 2020 điểm phân biệt. Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất 2 điểm trong số 2020 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn \(2{\rm{ }}cm\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462754

Phương pháp giải

Sử dụng phản chứng: Giả sử không tồn tại 2 điểm nào mà khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng 2 cm.

Giải chi tiết

Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử không tồn tại 2 điểm nào mà khoảng cách nhỏ hơn 2 cm. Khi đó độ dài 2 điểm bất kỳ trong 2020 điểm đã cho đều lớn hơn hoặc bằng 2.

Xét 2020 hình tròn có tâm là các điểm đã cho có bán kính bằng 1 cm. Do 2020 điểm trên nằm trong hình chữ nhật \(ABCD\) nên tất cả các hình tròn này sẽ nằm trong hình chữ nhật được mở rộng so với hình chữ nhật đã cho 1cm về mỗi phía.

Khi đó kích thước hình chữ nhật mới \(MNPQ\) sẽ là 151 x 42.

Do khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 2 cm nên các hình tròn này không bị chờm lên nhau (\( \le 1\) điểm chung). Khi đó diện tích tất cả các hình tròn này sẽ nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật mới.

Mà diện tích 2020 hình tròn là: \(2020.\pi {R^2} = 2020\pi = 6242,8\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)(lấy \(\pi = 3,14\))

Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \(151.42 = 6242\,\left( {c{m^2}} \right)\)< \(6242,8\,\left( {c{m^2}} \right)\), vô lý vì diện tích tất cả các hình tròn sẽ phải nhỏ hơn diện tích hình chữ nhật mới.

Vậy điều giả sử là sai. Suy ra tồn tại ít nhất 2 điểm trong số 2020 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2 cm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link