Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\angle DAB = \angle CBD = {90^0}\), \(AB = a,\,\,AC = a\sqrt 5 \), \(\angle ABC =
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\angle DAB = \angle CBD = {90^0}\), \(AB = a,\,\,AC = a\sqrt 5 \), \(\angle ABC = {135^0}\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({30^0}\). Tính thể tích của tứ diện \(ABCD\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Dựng \(DH \perp(ABC)\)
Ta có \(\left\{\begin{array}{l} BA \perp DA \\ BA \perp DH\end{array} \Rightarrow BA \perp AH \right.\). Tương tự \(\left\{\begin{array}{l} BC \perp DB \\ BC \perp DH \end{array} \Rightarrow BC \perp BH \right.\)
Tam giác AHB có
\(AB=a, \widehat{ABH}=45^{\circ} \Rightarrow \triangle HAB\) vuông cân tại \(A \Rightarrow A H=A B=a\).
Áp dụng định lý cosin, ta có \(BC=a\sqrt{2}\)
Vậy \(S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2} \cdot BA \cdot BC \cdot \sin \widehat{CBA}=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a^2}{2}.\)
Dựng \(\left\{\begin{array}{l} HE \perp DA \\ HF \perp DB \end{array} \Rightarrow HE \perp (DAB)\right.\) và \(HF \perp (DBC)\)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((DBA)\) và \((DBC)\) là \(\widehat{EHF}\) và tam giác HEF vuông tại E.
Đặt \(DH=x\), khi đó \(HE=\dfrac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}, HF=\dfrac{xa\sqrt{2}}{\sqrt{2 a^2+x^2}}\)
Suy ra
\(\cos \widehat{EHF}=\dfrac{HE}{HF}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{x^2+2 a^2}}{\sqrt{2x^2+2a^2}} \)
\(\Rightarrow x=a\)
Vậy \(V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}\).DH. \(S_{\triangle A B C}=\dfrac{a^3}{6}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
