Phương trình bậc \(3\) có các nghiệm \({x_1} = \cos \dfrac{\pi }{7},\,\,{x_2} = \cos \dfrac{{3\pi

Câu hỏi số 483776:

Vận dụng cao

Phương trình bậc \(3\) có các nghiệm \({x_1} = \cos \dfrac{\pi }{7},\,\,{x_2} = \cos \dfrac{{3\pi }}{7},\,\,{x_3} = \cos \dfrac{{5\pi }}{7}\) là

A. \({x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{8} = 0\)

B. \({x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{8} = 0\)

C. \({x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{8} = 0\)

D. \({x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8} = 0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483776

Phương pháp giải

Áp dụng: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} = c\end{array} \right.\) là nghiệm của phương trình bậc ba \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = a\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = b\\{x_1}{x_2}{x_3} = c\end{array} \right.\) là nghiệm của phương trình bậc ba \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\).

\(\begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \cos \dfrac{\pi }{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} + \cos \dfrac{{5\pi }}{7}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sin \dfrac{\pi }{7}\left( {\cos \dfrac{\pi }{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} + \cos \dfrac{{5\pi }}{7}} \right)}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sin \dfrac{\pi }{7}\cos \dfrac{\pi }{7} + 2\sin \dfrac{\pi }{7}\cos \dfrac{{3\pi }}{7} + 2\sin \dfrac{\pi }{7}\cos \dfrac{{5\pi }}{7}}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{6\pi }}{7}}}{{2\sin \dfrac{\pi }{7}}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \cos \dfrac{\pi }{7} \cdot \cos \dfrac{{3\pi }}{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{5\pi }}{7} + \cos \dfrac{{5\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{\pi }{7}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = c{\rm{os}}\dfrac{{2\pi }}{7} + c{\rm{os}}\dfrac{{4\pi }}{7} + c{\rm{os}}\dfrac{{6\pi }}{7} = - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2}{x_3} = \cos \dfrac{\pi }{7} \cdot \cos \dfrac{{3\pi }}{7} \cdot \cos \dfrac{{5\pi }}{7} = - \dfrac{1}{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{8\pi }}{7} + \cos \dfrac{{2\pi }}{7}} \right)\cos \dfrac{\pi }{7}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\left( {\cos \dfrac{{9\pi }}{7} + \cos \pi + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} + \cos \dfrac{\pi }{7}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\left( {\cos \dfrac{{9\pi }}{7} + \cos \dfrac{{3\pi }}{7} + \cos \dfrac{\pi }{7} - 1} \right) = - \dfrac{1}{8}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{1}{2}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\{x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{{ - 1}}{8}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình cần tìm là \({x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{8} = 0\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.