Cho $F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$ . Biết

Câu hỏi số 484107:

Vận dụng

Cho $F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$ . Biết $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định với mọi $x \ne 0$ . Tính $\int {f'\left( x \right){e^x}dx}$

$3{x^2}{e^x} - 6x{e^x} + {e^x} + C$

${x^2}{e^x} - 6x{e^x} + 6{e^x} + C$

$3{x^2} + 6x{e^x} + 6{e^x} + C$

$3{x^2}{e^x} - 6x{e^x} + 6{e^x} + C$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484107

Phương pháp giải

- Sử dụng $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$ thì $\dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = F'\left( x \right)$ , suy ra hàm số $f\left( x \right)$ .

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết

Ta có $F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3}$ là một nguyên hàm của $\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$ $\Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = F'\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3}$ .

$\Rightarrow f'\left( x \right).{e^x} = 3{x^2}.{e^x}$ $\Rightarrow \int {f'\left( x \right).{e^x}dx} = \int {3{x^2}.{e^x}} dx$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 3{x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 6xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \int {f'\left( x \right).{e^x}dx} = 3{x^2}.{e^x} - \int {6x.{e^x}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 6x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 6dx\\v = {e^x}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \int {6x.{e^x}dx} = 6x{e^x} - \int {6{e^x}dx} = 6x{e^x} - 6{e^x} + C$ .

Vậy $\int {f'\left( x \right).{e^x}dx} = 3{x^2}.{e^x} - 6x{e^x} + 6{e^x} + C$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.