Cho \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\). Biết

Câu hỏi số 484107:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\). Biết \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác định với mọi \(x \ne 0\). Tính \(\int {f'\left( x \right){e^x}dx} \)

A. \(3{x^2}{e^x} - 6x{e^x} + {e^x} + C\)

B. \({x^2}{e^x} - 6x{e^x} + 6{e^x} + C\)

C. \(3{x^2} + 6x{e^x} + 6{e^x} + C\)

D. \(3{x^2}{e^x} - 6x{e^x} + 6{e^x} + C\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484107

Phương pháp giải

- Sử dụng \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\) thì \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = F'\left( x \right)\), suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3}\) là một nguyên hàm của \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\) \( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = F'\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3}\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right).{e^x} = 3{x^2}.{e^x}\) \( \Rightarrow \int {f'\left( x \right).{e^x}dx} = \int {3{x^2}.{e^x}} dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3{x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 6xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int {f'\left( x \right).{e^x}dx} = 3{x^2}.{e^x} - \int {6x.{e^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 6x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 6dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \int {6x.{e^x}dx} = 6x{e^x} - \int {6{e^x}dx} = 6x{e^x} - 6{e^x} + C\).

Vậy \(\int {f'\left( x \right).{e^x}dx} = 3{x^2}.{e^x} - 6x{e^x} + 6{e^x} + C\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.