Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) nguyên thỏa mãn

Câu hỏi số 484108:

Vận dụng cao

\(\left( {4xy + 7y} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {{e^{2xy}} - {e^{4x + y + 7}}} \right) = \left[ {2x\left( {2 - y} \right) + y + 7} \right]{e^x}\)

A. 8

B. 5

C. 6

D. 7

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Biến đổi, xét hàm đặc trưng, từ đó tìm \(y\) theo \(x\).

- Tìm điều kiện để \(y \in \mathbb{Z}\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left( {4xy + 7y} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {{e^{2xy}} - {e^{4x + y + 7}}} \right) = \left[ {2x\left( {2 - y} \right) + y + 7} \right]{e^y}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{e^{2xy}} - {e^{4x + y + 7}}}}{{{e^y}}} = \dfrac{{2x\left( {2 - y} \right) + y + 7}}{{\left( {4xy + 7y} \right)\left( {2x - 1} \right)}} = \dfrac{{4x - 2xy + y + 7}}{{\left( {4xy + 7y} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^{2xy - y}} - {e^{4x + 7}} = \dfrac{{4x + 7}}{{y\left( {4x + 7} \right)\left( {2x - 1} \right)}} + \dfrac{{y\left( {1 - 2x} \right)}}{{y\left( {4x + 7} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {e^{2xy - y}} - {e^{4x + 7}} = \dfrac{1}{{y\left( {2x - 1} \right)}} + \dfrac{1}{{4x + 7}}\\ \Leftrightarrow {e^{y\left( {2x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{y\left( {2x - 1} \right)}} = {e^{4x + 7}} - \dfrac{1}{{4x + 7}}\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} - \dfrac{1}{t}\,\,\left( {t \ne 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = {e^t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} > 0\,\,\forall t \ne 0\), do đó hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, từ đó ta có: \(f\left( {y\left( {2x - 1} \right)} \right) = f\left( {4x + 7} \right) \Leftrightarrow y\left( {2x - 1} \right) = 4x + 7\).

\( \Rightarrow y = \dfrac{{4x + 7}}{{2x - 1}} = \dfrac{{4x - 2 + 9}}{{2x - 1}} = 2 + \dfrac{9}{{2x + 1}}\).

Vì \(y\) nguyên nên \(\dfrac{9}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 2x + 1 \in \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {0; - 1;1; - 2;4; - 5} \right\}\) \( \Rightarrow \) Có 6 giá trị của \(x\) thỏa mãn.

Vậy có 6 cặp thỏa mãn số \(\left( {x;y} \right)\) nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xem lời giải

Câu hỏi:484108

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.