Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} - m - 6} \right){x^3} +

Câu hỏi số 484106:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} - m - 6} \right){x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} - 2x + 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm.

Giải chi tiết

Ta có \(y = \left( {{m^2} - m - 6} \right){x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} - 2x + 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow y' = 3\left( {{m^2} - m - 6} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x - 2 \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

TH1: \({m^2} - m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\).

+ Với \(m = 3\) thì \(y = - 2x + 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (đúng) \( \Rightarrow m = 3\) thỏa mãn.

+ Với \(m = - 2\) thì \(y = - 5{x^2} - 2x + 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (sai) \( \Rightarrow m = - 2\) không thỏa mãn.

TH2: \({m^2} - m - 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {{m^2} - m - 6} \right) < 0\\\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} + 6\left( {{m^2} - m - 6} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 3\\7{m^2} - 12m - 27 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 3\\ - \dfrac{9}{7} \le m \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{9}{7} \le m < 3\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Kết hợp cả 2 TH ta có \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\). Vậy có 5 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Xem lời giải

Câu hỏi:484106

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.