Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 }

Câu hỏi số 484109:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\), thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) + x\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 2} \right) + \dfrac{x}{{{e^{f\left( x \right)}}}} = 0\). Giá trị của \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\) bằng

A. ln7

B. ln5

C. ln6

D. ln3

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

- Từ giả thiết rút \(x\).

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm \(f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) + x\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 2} \right) + \dfrac{x}{{{e^{f\left( x \right)}}}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}} + x\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 2} \right).{e^{f\left( x \right)}} + x = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}} + x\left[ {\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 2} \right).{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{e^{f\left( x \right)}}} \right]'} + x{\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{{\left[ {{e^{f\left( x \right)}}} \right]'}}{{{{\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\int {xdx} = \int { - \dfrac{{\left[ {{e^{f\left( x \right)}}} \right]'}}{{{{\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right)}^2}}}dx} = \int { - \dfrac{{\left[ {{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right]'}}{{{{\left( {{e^{f\left( x \right)}} + 1} \right)}^2}}}dx} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{2} + C = \dfrac{1}{{{e^{f\left( x \right)}} + 1}}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{2} + C = \dfrac{1}{{{e^0} + 1}} \Leftrightarrow C = 0\)

Suy ra \(\dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{{{e^{f\left( x \right)}} + 1}} \Rightarrow {e^{f\left( x \right)}} + 1 = \dfrac{2}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {e^{f\left( x \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2}}} - 1\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \ln \left( {\dfrac{2}{{{x^2}}} - 1} \right)\).

Vậy \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \ln \left( {\dfrac{2}{{\dfrac{1}{4}}} - 1} \right) = \ln 7\).

Xem lời giải

Câu hỏi:484109

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.