Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SD = a\sqrt 3 \). Mặt bên \(SAB\) là tam
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SD = a\sqrt 3 \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(K\) là trung điểm của \(AD\). Khoảng cách giữa hai đường \(SD\) và \(HK\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Chứng minh \(d\left( {SD;HK} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\), sử dụng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia.
- Gọi \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,BO\). Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HI \bot SM\), chứng minh \(HI \bot \left( {SBD} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính thể tích.
Vì tam giác SAB cân nên \(SH \bot AB\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) nên \(HK//BD \Rightarrow HK//\left( {SBD} \right) \supset SD\)
\( \Rightarrow d\left( {SD;HK} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\).
Gọi \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,BO\).
Ta có \(AC \bot BD\) (do \(ABCD\) là hình vuông), \(HM//AC\) (do \(HM\) là đường trung bình của \(\Delta ABO\))
\( \Rightarrow HM \bot BD\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right)\).
Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HI \bot SM\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SM\\HI \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HI\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Ta có: \(HD = \sqrt {A{H^2} + H{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SHD\) có: \(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{5{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SHM\) có: \(HI = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {105} }}{{30}}\).
Vậy \(d\left( {HK;SD} \right) = \dfrac{{a\sqrt {105} }}{{30}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
