Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SD = a\sqrt 3 \). Mặt bên \(SAB\) là tam

Câu hỏi số 484110:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SD = a\sqrt 3 \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), \(K\) là trung điểm của \(AD\). Khoảng cách giữa hai đường \(SD\) và \(HK\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {105} }}{5}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {105} }}{{20}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {105} }}{{30}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {105} }}{{10}}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Chứng minh \(d\left( {SD;HK} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\), sử dụng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia.

- Gọi \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,BO\). Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HI \bot SM\), chứng minh \(HI \bot \left( {SBD} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính thể tích.

Giải chi tiết

Vì tam giác SAB cân nên \(SH \bot AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(HK\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\) nên \(HK//BD \Rightarrow HK//\left( {SBD} \right) \supset SD\)

\( \Rightarrow d\left( {SD;HK} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Gọi \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,BO\).

Ta có \(AC \bot BD\) (do \(ABCD\) là hình vuông), \(HM//AC\) (do \(HM\) là đường trung bình của \(\Delta ABO\))

\( \Rightarrow HM \bot BD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right)\).

Trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HI \bot SM\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SM\\HI \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HI\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Ta có: \(HD = \sqrt {A{H^2} + H{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SHD\) có: \(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{5{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SHM\) có: \(HI = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{8}} }} = \dfrac{{a\sqrt {105} }}{{30}}\).

Vậy \(d\left( {HK;SD} \right) = \dfrac{{a\sqrt {105} }}{{30}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:484110

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.