Cho hàm bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm

Câu hỏi số 484111:

Vận dụng cao

Cho hàm bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {\left| {\sqrt {4 - {x^2}} - \left| {{x^2} - 1} \right|} \right|} \right) = \dfrac{1}{{2021}}\) là:

A. 24

B. 14

C. 12

D. 10

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:484111

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Áp dụng các công thức tính đạo hàm.

Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Giải chi tiết

ĐK: \( - 2 \le x \le 2\)

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} - \left| {{x^2} - 1} \right| = \left[ \begin{array}{l}\sqrt {4 - {x^2}} - {x^2} + 1\,\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 2 \le x \le - 1\end{array} \right.\\\sqrt {4 - {x^2}} + {x^2} - 1\,\,\,khi\,\, - 1 < x < 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(t' = \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} - 2x\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 2 \le x \le - 1\end{array} \right.\\\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} + 2x\,\,\,khi\,\, - 1 < x < 1\end{array} \right.\)

\(t' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} - 2x = 0\,\,khi\,\,\,\left[ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 2 \le x \le - 1\end{array} \right.\\\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} + 2x = 0\,\,khi\,\, - 1 < x < 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - x\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} + 2} \right) = 0\,\,khi\,\,\,\left[ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 2 \le x \le - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 1 \right)\\ - x\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} - 2} \right) = 0\,\,khi\,\,\, - 1 < x < 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} + 2 = 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = \dfrac{1}{{2021}}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm là \(\left\{ \begin{array}{l}x = a;a \in \left( {0;\dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2}} \right) \Rightarrow 4{n_0}\\x = b;b \in \left( {\dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2};1} \right) \Rightarrow 4{n_0}\\x = c \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow 2{n_0}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.