Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hai tia \(Ox,\,\,Oy\) và \(\angle xOy = 60^\circ \). Trên tia
Trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hai tia \(Ox,\,\,Oy\) và \(\angle xOy = 60^\circ \). Trên tia \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tại \(O\), lấy điểm \(S\) sao cho \(SO = a\). Gọi \(M,\,\,N\) là các điểm lần lượt di động trên hai tia \(Ox,\,\,Oy\) sao cho \(OM + ON = a\) (\(a > 0\) và \(M,\,\,N\) khác \(O\)). Gọi \(H,\,\,K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên hai cạnh \(SM,\,\,SN\). Mặt cầu ngoại tiếp đa diện \(MNHOK\) có diện tích nhỏ nhất bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OMN\), \(D\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(O\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DM \bot OM\\DM \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow DM \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow DM \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot DM\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SDM} \right) \Rightarrow OH \bot HD\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle OHD = {90^0} \Rightarrow IO = IH = ID\).
Chứng minh tương tự ta có \(OK \bot \left( {SDN} \right) \Rightarrow OK \bot KD \Rightarrow \angle OKD = {90^0}\) \( \Rightarrow IO = IK = ID\).
\( \Rightarrow IO = IM = IN = IH = IK\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện \(MNHOK\).
Gọi P và Q là trung điểm OM và ON nên P và Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHM và OKN./
Ta có bán kính mặt cầu này là:
\(\begin{array}{l}R = IO = {R_{\Delta OMN}} = \dfrac{{MN}}{{2\sin \angle MON}}\\ = \dfrac{{\sqrt {O{M^2} + O{N^2} - 2OM.ON.\cos OMN} }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt {O{M^2} + O{N^2} - OM.ON} }}{{\sqrt 3 }}\end{array}\)
Ta có: \(O{M^2} + O{N^2} - OM.ON = {\left( {OM + ON} \right)^2} - 3OM.ON = {a^2} - 3OM.ON\)
Lại có \(OM.ON \le \dfrac{{{{\left( {OM + ON} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\) nên \(O{M^2} + O{N^2} - OM.ON \ge {a^2} - 3\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\).
Do đó ta có \(R \ge \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4}} }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\).
Vậy \(S = 4\pi {R^2} \ge 4\pi .{\left( {\dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{3}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
