Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < BC < CA} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)Từ

Câu hỏi số 487599:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < BC < CA} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\)cắt \(\left( O \right)\)tại \({A_1}.\)Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(\left( O \right)\) tại \({B_1}.\)Từ C kẻ đường thẳng song song với \(AB\)cắt \(\left( O \right)\)tại \({C_1}.\)Chứng minh rằng các đường thẳng qua \({A_1},{B_1},{C_1}\)lần lượt vuông góc với \(BC,CA,AB\)đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:487599

Phương pháp giải

Sử dụng đường trung bình của hình thang

Giải chi tiết

Gọi H là trực tâm của tam giác \(ABC\)và \(OH\)cắt đường thẳng qua\({A_1}\)vuông góc với \(BC\)ở điểm \(K.\)Gọi \(M\)là trung điểm \(A{A_1}\)thì \(OM \bot A{A_1} \Rightarrow OM \bot BC\)

Mặt khác, tứ giác \(AHK{A_1}\)là hình thang vì \(AH//{A_1}K\)nên ta có \(OM\)là đường trung bình, kéo theo \(O\)là trung điểm \(HK\)hay nói cách khác, đường thẳng qua \({A_1}\)vuông góc với \(BC\)sẽ đi qua điểm đối xứng với trực tâm \(H\) của \(\Delta ABC\)qua \(O\).

Tương tự, ta có các đường thẳng qua \({B_1},{C_1}\)lần lượt vuông góc với \(CA,AB\) cũng đi qua \(K\) cố định.

Vậy ba đường thẳng đó đồng quy tại \(K\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link