Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3}

Câu hỏi số 490205:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\). Từ gốc tọa độ \(O\) kẻ tiếp tuyến \(OM\) bất kì (\(M\) là tiếp điểm) với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi đó điểm \(M\) luôn thuộc mặt phẳng có phương trình nảo sau đây?

A. \(4x - 3z + 9 = 0\)

B. \( - 4x + 3z + 9 = 0\)

C. \(4x - 3z + 6 = 0\)

D. \(4x - 3z + 15 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490205

Phương pháp giải

- Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), tính \(OM\).

- Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}OM\\M \in \left( S \right)\end{array} \right.\) tìm mặt phẳng luôn chứa \(M\).

Giải chi tiết

Ta có \(O\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;0;3} \right)\), bán kính \(R = 4\).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Vì \(M \in \left( S \right) \Rightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) (1).

Ta có: \(OI = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} = 5\), \(IM = R = 4\) nên \(OM = \sqrt {O{I^2} - I{M^2}} = 3\).

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow 8x - 6z + 18 = 0 \Leftrightarrow 4x - 3z + 9 = 0\).

Vậy \(M\) luôn thuộc mặt phẳng \(4x - 3z + 9 = 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.