Trong mặt phẳng phức \(Oxy\), cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \)
Trong mặt phẳng phức \(Oxy\), cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \) và \(w = \left( {1 + i} \right)\overline z + 2z + 1\) là số thuần ảo. Biết rằng tồn tại số phức \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\) sao cho \(MA\) ngắn nhất, với điểm \(A\left( {1;4} \right)\). Tính \(a - b\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Thay \(z = a + bi\) vào lần lượt 2 giả thiết. Từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\).
- Sử dụng phương pháp hình học tìm vị trí điểm \(M\) để \(M{A_{\min }}\).
Theo bài ra ta có:
+) \(\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a + bi + i} \right| \le \sqrt {10} \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \le 10\).
+) \(w = \left( {1 + i} \right)\overline z + 2z + 1 = \left( {1 + i} \right)\left( {a - bi} \right) + 2\left( {a + bi} \right) + 1\)
\(\begin{array}{l} = a - bi + ai + b + 2a + 2bi + 1\\ = 3a + b + 1 + \left( {a + b} \right)i\end{array}\)
Là số thuần ảo \( \Rightarrow 3a + b + 1 = 0\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là giao điểm của hình tròn \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\,\,\left( C \right)\) và đường thẳng \(3x + y + 1 = 0\,\,\left( d \right)\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đoạn thẳng \(E,\,\,F\), với \(E,\,\,F = \left( C \right) \cap \left( d \right)\).
Tọa độ \(E,\,\,F\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\\3x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1;\,\,y = 2\\x = 1;\,\,y = - 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow E\left( { - 1;2} \right),\,\,F\left( {1; - 4} \right)\).
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{A_{\min }} = EA\) khi \(M \equiv E\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow z = - 1 + 2i\).
\( \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 2\).
Vậy \(a - b = - 1 - 2 = - 3\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
