Trong mặt phẳng phức $Oxy$ , cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10}$

Câu hỏi số 490207:

Vận dụng

Trong mặt phẳng phức $Oxy$ , cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10}$ và $w = \left( {1 + i} \right)\overline z + 2z + 1$ là số thuần ảo. Biết rằng tồn tại số phức $z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}$ được biểu diễn bởi điểm $M$ sao cho $MA$ ngắn nhất, với điểm $A\left( {1;4} \right)$ . Tính $a - b$ .

$3$

$- 3$

$5$

$- 5$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490207

Phương pháp giải

- Thay $z = a + bi$ vào lần lượt 2 giả thiết. Từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ .

- Sử dụng phương pháp hình học tìm vị trí điểm $M$ để $M{A_{\min }}$ .

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

+) $\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a + bi + i} \right| \le \sqrt {10} \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \le 10$ .

+) $w = \left( {1 + i} \right)\overline z + 2z + 1 = \left( {1 + i} \right)\left( {a - bi} \right) + 2\left( {a + bi} \right) + 1$

$\begin{array}{l} = a - bi + ai + b + 2a + 2bi + 1\\ = 3a + b + 1 + \left( {a + b} \right)i\end{array}$

Là số thuần ảo $\Rightarrow 3a + b + 1 = 0$ .

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là giao điểm của hình tròn ${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\,\,\left( C \right)$ và đường thẳng $3x + y + 1 = 0\,\,\left( d \right)$ .

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đoạn thẳng $E,\,\,F$ , với $E,\,\,F = \left( C \right) \cap \left( d \right)$ .

Tọa độ $E,\,\,F$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\\3x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1;\,\,y = 2\\x = 1;\,\,y = - 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow E\left( { - 1;2} \right),\,\,F\left( {1; - 4} \right)$ .

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{A_{\min }} = EA$ khi $M \equiv E\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow z = - 1 + 2i$ .

$\Rightarrow a = - 1,\,\,b = 2$ .

Vậy $a - b = - 1 - 2 = - 3$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.