Trong mặt phẳng phức \(Oxy\), cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \)

Câu hỏi số 490207:

Vận dụng

Trong mặt phẳng phức \(Oxy\), cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \) và \(w = \left( {1 + i} \right)\overline z + 2z + 1\) là số thuần ảo. Biết rằng tồn tại số phức \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\) sao cho \(MA\) ngắn nhất, với điểm \(A\left( {1;4} \right)\). Tính \(a - b\).

A. \(3\)

B. \( - 3\)

C. \(5\)

D. \( - 5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490207

Phương pháp giải

- Thay \(z = a + bi\) vào lần lượt 2 giả thiết. Từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\).

- Sử dụng phương pháp hình học tìm vị trí điểm \(M\) để \(M{A_{\min }}\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

+) \(\left| {z + i} \right| \le \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {a + bi + i} \right| \le \sqrt {10} \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} \le 10\).

+) \(w = \left( {1 + i} \right)\overline z + 2z + 1 = \left( {1 + i} \right)\left( {a - bi} \right) + 2\left( {a + bi} \right) + 1\)

\(\begin{array}{l} = a - bi + ai + b + 2a + 2bi + 1\\ = 3a + b + 1 + \left( {a + b} \right)i\end{array}\)

Là số thuần ảo \( \Rightarrow 3a + b + 1 = 0\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là giao điểm của hình tròn \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\,\,\left( C \right)\) và đường thẳng \(3x + y + 1 = 0\,\,\left( d \right)\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đoạn thẳng \(E,\,\,F\), với \(E,\,\,F = \left( C \right) \cap \left( d \right)\).

Tọa độ \(E,\,\,F\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\\3x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1;\,\,y = 2\\x = 1;\,\,y = - 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow E\left( { - 1;2} \right),\,\,F\left( {1; - 4} \right)\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{A_{\min }} = EA\) khi \(M \equiv E\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow z = - 1 + 2i\).

\( \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 2\).

Vậy \(a - b = - 1 - 2 = - 3\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.