Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 + m{x^2}} }}{{f\left( x \right) - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

Câu 490208: Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 + m{x^2}} }}{{f\left( x \right) - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

A. \(100\)

B. \(99\)

C. \(2\)

D. \(196\)

Câu hỏi : 490208

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xét các TH:

TH1: \(m = 0\).

TH2: \( - 100 \le m \le - 1\), \(m \in \mathbb{Z}\).

TH3: \(1 \le m \le 100\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Ứng với mỗi TH tìm cụ thể số đường TCN của đồ thị hàm số, tìm số đường TCĐ thỏa mãn yêu cầu bằng cách sử dụng bài toán tương giao.

Đáp án : B
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Đồ thị hàm số có 1 TCN \(y = 0\).

Ta có \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 3 đường TCĐ

Vậy khi \(m = 0\) thì đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận \( \Rightarrow m = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \( - 100 \le m \le - 1\), \(m \in \mathbb{Z}\).

ĐKXĐ: \(1 + m{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le \dfrac{{ - 1}}{m} \Leftrightarrow - \sqrt {\dfrac{{ - 1}}{m}} \le x \le \sqrt {\dfrac{{ - 1}}{m}} \), do đó đồ thị hàm số không có TCN.

Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đó phải là 2 đường tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m = - 2\).

TH3: \(1 \le m \le 100\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow 1 + m{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), đồng thời bậc tử < bậc mẫu nên đồ thị hàm số có 1 TCN \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đồ thị phải có 1 đường tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) phải có 1 nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\), kết hợp điều kiện của TH3 ta có \(m \in \left\{ {3;4;...;100} \right\}\).

Vậy tất cả có 99 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.