Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Có bao nhiêu

Câu hỏi số 490208:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 100;100} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 + m{x^2}} }}{{f\left( x \right) - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận?

A. \(100\)

B. \(99\)

C. \(2\)

D. \(196\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490208

Phương pháp giải

Xét các TH:

TH1: \(m = 0\).

TH2: \( - 100 \le m \le - 1\), \(m \in \mathbb{Z}\).

TH3: \(1 \le m \le 100\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Ứng với mỗi TH tìm cụ thể số đường TCN của đồ thị hàm số, tìm số đường TCĐ thỏa mãn yêu cầu bằng cách sử dụng bài toán tương giao.

Giải chi tiết

TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\).

Đồ thị hàm số có 1 TCN \(y = 0\).

Ta có \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 3 đường TCĐ

Vậy khi \(m = 0\) thì đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận \( \Rightarrow m = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \( - 100 \le m \le - 1\), \(m \in \mathbb{Z}\).

ĐKXĐ: \(1 + m{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le \dfrac{{ - 1}}{m} \Leftrightarrow - \sqrt {\dfrac{{ - 1}}{m}} \le x \le \sqrt {\dfrac{{ - 1}}{m}} \), do đó đồ thị hàm số không có TCN.

Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đó phải là 2 đường tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 2\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m = - 2\).

TH3: \(1 \le m \le 100\), \(m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow 1 + m{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), đồng thời bậc tử < bậc mẫu nên đồ thị hàm số có 1 TCN \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì đồ thị phải có 1 đường tiệm cận đứng \( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = m\) phải có 1 nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\), kết hợp điều kiện của TH3 ta có \(m \in \left\{ {3;4;...;100} \right\}\).

Vậy tất cả có 99 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.