Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.DEF\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Xét \(\left( T \right)\)

Câu hỏi số 490209:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.DEF\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Xét \(\left( T \right)\) là hình trụ nội tiếp lăng trụ. Gọi \(M\) là tâm của mặt bên \(BCFE\), mặt phẳng chứa \(AM\) và song song với \(BC\) cắt \(\left( T \right)\) như hình vẽ bên dưới

Thể tích phần còn lại (như hình trên) của khối \(\left( T \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{{18}}\)

B. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{{54}}\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{{27}}\)

D. \(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{{54}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490209

Phương pháp giải

- Chia thành các khối trụ và nửa khối trụ.

- Xác định rõ chiều cao và bán kính đáy của từng phần.

- Thể tích khối trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Đáy của hình trụ là hình tròn nội tiếp tam giác đều \(DEF\) nên có bán kính \(r = \dfrac{{{S_{\Delta DEF}}}}{{{p_{\Delta DEF}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Phần còn lại của hình trụ \(\left( T \right)\) được chia làm 2 phần:

+ Phần 1: Hình trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \({h_1} = MH\) với \(H\) là trung điểm của \(EF\).

Ta có \({h_1} = MH = \dfrac{1}{2}CF = \dfrac{a}{2}\).

\( \Rightarrow {V_1} = \pi {r^2}{h_1} = \pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{24}}\).

+ Phần 2: Một nửa hình trụ có bán kính đáy \(r\), chiều cao \({h_2} = NP\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{NP}}{{AQ}} = \dfrac{{MN}}{{MQ}} = 2\dfrac{{HI}}{{HD}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow NP = \dfrac{2}{3}AQ = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{a}{3}\).

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{2}\pi {r^2}{h_2} = \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{72}}\).

Vậy thể tích phần còn lại của khối trụ \(\left( T \right)\) là: \(V = {V_1} + {V_2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{24}} + \dfrac{{\pi {a^3}}}{{72}} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{18}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.