Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.DEF$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Xét $\left( T \right)$

Câu hỏi số 490209:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.DEF$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Xét $\left( T \right)$ là hình trụ nội tiếp lăng trụ. Gọi $M$ là tâm của mặt bên $BCFE$ , mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $BC$ cắt $\left( T \right)$ như hình vẽ bên dưới

Thể tích phần còn lại (như hình trên) của khối $\left( T \right)$ bằng:

\frac{π a^{3}}{18}

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{18}}$

\frac{π a^{3}}{54}

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{54}}$

\frac{π a^{3}}{27}

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{27}}$

\frac{2 π a^{3}}{54}

$\dfrac{{2\pi {a^3}}}{{54}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490209

Phương pháp giải

- Chia thành các khối trụ và nửa khối trụ.

- Xác định rõ chiều cao và bán kính đáy của từng phần.

- Thể tích khối trụ có chiều cao $h$ , bán kính đáy $r$ là $V = \pi {r^2}h$ .

Giải chi tiết

Đáy của hình trụ là hình tròn nội tiếp tam giác đều $DEF$ nên có bán kính $r = \dfrac{{{S_{\Delta DEF}}}}{{{p_{\Delta DEF}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{3a}}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$ .

Phần còn lại của hình trụ $\left( T \right)$ được chia làm 2 phần:

+ Phần 1: Hình trụ có bán kính đáy $r$ , chiều cao ${h_1} = MH$ với $H$ là trung điểm của $EF$ .

Ta có ${h_1} = MH = \dfrac{1}{2}CF = \dfrac{a}{2}$ .

$\Rightarrow {V_1} = \pi {r^2}{h_1} = \pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{24}}$ .

+ Phần 2: Một nửa hình trụ có bán kính đáy $r$ , chiều cao ${h_2} = NP$ .

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{{NP}}{{AQ}} = \dfrac{{MN}}{{MQ}} = 2\dfrac{{HI}}{{HD}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow NP = \dfrac{2}{3}AQ = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{a}{3}$ .

$\Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{2}\pi {r^2}{h_2} = \dfrac{1}{2}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{72}}$ .

Vậy thể tích phần còn lại của khối trụ $\left( T \right)$ là: $V = {V_1} + {V_2} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{24}} + \dfrac{{\pi {a^3}}}{{72}} = \dfrac{{\pi {a^3}}}{{18}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.