Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để phương trình \({2^m} + {2^{3m + 2}} = \left( {x + \sqrt {9 - {x^2}} }
Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để phương trình \({2^m} + {2^{3m + 2}} = \left( {x + \sqrt {9 - {x^2}} } \right)\left( {5 + x\sqrt {9 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Ứng với mỗi TH tìm cụ thể số đường TCN của đồ thị hàm số, tìm số đường TCĐ thỏa mãn yêu cầu bằng cách sử dụng bài toán tương giao.
ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 3\).
Đặt \(t = x + \sqrt {9 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 9 + 2x\sqrt {9 - {x^2}} \Rightarrow x\sqrt {9 - {x^2}} = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^m} + {2^{3m + 2}} = t\left( {5 + \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow {2.2^m} + {2.2^{3m + 2}} = t\left( {{t^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{m + 1}} + {2^{3m + 3}} = {t^3} + t\\ \Leftrightarrow {2^{3\left( {m + 1} \right)}} + {2^{m + 1}} = {t^3} + t\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Lại có \(f\left( t \right) = f\left( {{2^{m + 1}}} \right) \Leftrightarrow t = {2^{m + 1}} \Leftrightarrow x + \sqrt {9 - {x^2}} = {2^{m + 1}}\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \sqrt {9 - {x^2}} \) với \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\) ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {9 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\).
Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 3 \le {2^{m + 1}} \le 3\sqrt 2 \Leftrightarrow m \le {\log _2}\left( {3\sqrt 2 } \right) - 1\).
Mà \(m \in \mathbb{N} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
