Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để phương trình \({2^m} + {2^{3m + 2}} = \left( {x + \sqrt {9 - {x^2}} }

Câu hỏi số 490210:

Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên \(m\) để phương trình \({2^m} + {2^{3m + 2}} = \left( {x + \sqrt {9 - {x^2}} } \right)\left( {5 + x\sqrt {9 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm.

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(1\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490210

Phương pháp giải

Ứng với mỗi TH tìm cụ thể số đường TCN của đồ thị hàm số, tìm số đường TCĐ thỏa mãn yêu cầu bằng cách sử dụng bài toán tương giao.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 3\).

Đặt \(t = x + \sqrt {9 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 9 + 2x\sqrt {9 - {x^2}} \Rightarrow x\sqrt {9 - {x^2}} = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^m} + {2^{3m + 2}} = t\left( {5 + \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow {2.2^m} + {2.2^{3m + 2}} = t\left( {{t^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{m + 1}} + {2^{3m + 3}} = {t^3} + t\\ \Leftrightarrow {2^{3\left( {m + 1} \right)}} + {2^{m + 1}} = {t^3} + t\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lại có \(f\left( t \right) = f\left( {{2^{m + 1}}} \right) \Leftrightarrow t = {2^{m + 1}} \Leftrightarrow x + \sqrt {9 - {x^2}} = {2^{m + 1}}\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \sqrt {9 - {x^2}} \) với \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\) ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {9 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = \dfrac{9}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 3 \le {2^{m + 1}} \le 3\sqrt 2 \Leftrightarrow m \le {\log _2}\left( {3\sqrt 2 } \right) - 1\).

Mà \(m \in \mathbb{N} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.