Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$ , $BC = CD = 2a$ và \(AB =

Câu hỏi số 490211:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$ , $BC = CD = 2a$ và $AB = a$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt 3$ . $M$ là trung điểm $SD$ , $N$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NS} = \overrightarrow 0$ . Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M,\,\,N$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ . Tính $\cos \left( {\left( \alpha \right);\left( {ABCD} \right)} \right)$ .

$\dfrac{{3\sqrt 6 }}{8}$

$\dfrac{9}{{\sqrt {141} }}$

$\dfrac{{\sqrt {15} }}{9}$

$\dfrac{{\sqrt {10} }}{8}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490211

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết

Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ $\Rightarrow ABCE$ là hình chữ nhật.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi $a = 1$ . Ta có:

$A\left( {0;0;0} \right)$ , $B\left( {0;1;0} \right),\,\,C\left( {2;1;0} \right);\,\,E\left( {2;0;0} \right)$ , $S\left( {0;0;\sqrt 3 } \right)$ .

Vì $E$ là trung điểm của $CD \Rightarrow D\left( {2; - 1;0} \right)$ .

Vì $M$ là trung điểm của $SD$ $\Rightarrow M\left( {1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ .

Vì $2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NS} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {SN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {SA}$ .

$\Rightarrow \left( {{x_N};{y_N};{z_N} - \sqrt 3 } \right) = \dfrac{2}{3}\left( {0;0; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 0\\{y_N} = 0\\{z_N} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {0;0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)$ .

Ta có: $\left( {ABCD} \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ .

$\left( {SAC} \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;2;0} \right)$ .

$\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)$ nên $\left( \alpha \right)$ chứa $MN$ và vuông góc với $\left( {SAC} \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_3}} = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};\dfrac{3}{2}} \right)//\left( { - 2; - 1;3\sqrt 3 } \right) = \overrightarrow n$ .

Vậy $\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{4\sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{8}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.