Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(B\) và \(C\), \(BC = CD = 2a\) và \(AB =

Câu hỏi số 490211:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(B\) và \(C\), \(BC = CD = 2a\) và \(AB = a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 \). \(M\) là trung điểm \(SD\), \(N\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NS} = \overrightarrow 0 \). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(M,\,\,N\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Tính \(\cos \left( {\left( \alpha \right);\left( {ABCD} \right)} \right)\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt 6 }}{8}\)

B. \(\dfrac{9}{{\sqrt {141} }}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{9}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {10} }}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490211

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\) \( \Rightarrow ABCE\) là hình chữ nhật.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\). Ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right),\,\,C\left( {2;1;0} \right);\,\,E\left( {2;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;\sqrt 3 } \right)\).

Vì \(E\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow D\left( {2; - 1;0} \right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(SD\) \( \Rightarrow M\left( {1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Vì \(2\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NS} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {SN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {SA} \).

\( \Rightarrow \left( {{x_N};{y_N};{z_N} - \sqrt 3 } \right) = \dfrac{2}{3}\left( {0;0; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 0\\{y_N} = 0\\{z_N} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {0;0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Ta có: \(\left( {ABCD} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

\(\left( {SAC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow k ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;2;0} \right)\).

\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) chứa \(MN\) và vuông góc với \(\left( {SAC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_3}} = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};\dfrac{3}{2}} \right)//\left( { - 2; - 1;3\sqrt 3 } \right) = \overrightarrow n \).

Vậy \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{4\sqrt 2 }} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{8}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.