Cho hàm số đa thức $y = f\left( x \right)$ có đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ được

Câu hỏi số 490212:

Vận dụng

Cho hàm số đa thức $y = f\left( x \right)$ có đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$ được cho bởi hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $\left( {1;2021} \right)$ để bất phương trình

$f\left( {1 - {x^2}} \right) - f\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right) > {x^2} - 2mx + 3{m^2}$ có nghiệm?

$0$

$1$

$2019$

$2020$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490212

Phương pháp giải

- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.

- Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên khoảng giá trị của $x$ , từ đó suy ra bất đẳng thức bậc hai.

- Tìm điều kiện để bất phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( {1 - {x^2}} \right) - f\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right) > {x^2} - 2mx + 3{m^2}\\ \Leftrightarrow f\left( {1 - {x^2}} \right) - \left( {1 - {x^2}} \right) > f\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right) - \left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right)\end{array}$

Xét hàm số $y = f\left( t \right) - t$ $\left( {t \le 1} \right)$ ta có $y' = f'\left( t \right) - 1$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên $\left( { - \infty ;1} \right]$ thì $f'\left( t \right) \le 1 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - 1 \le 0\,\,\forall t \le 1$ .

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( t \right) - t$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ;1} \right]$ .

Mà $y\left( {1 - {x^2}} \right) > y\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right)$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - {x^2} > - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 3{m^2} < 0\,\,\left( * \right)\end{array}$

Ta có $\Delta {'_*} = {m^2} - 3{m^2} = - 2{m^2} \le 0\,\,\forall m$ nên ${x^2} - 2mx + 3{m^2} \ge 0\,\,\forall m$ , do đó bất phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.