Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được

Câu hỏi số 490212:

Vận dụng

Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được cho bởi hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( {1;2021} \right)\) để bất phương trình

\(f\left( {1 - {x^2}} \right) - f\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right) > {x^2} - 2mx + 3{m^2}\) có nghiệm?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2019\)

D. \(2020\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490212

Phương pháp giải

- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.

- Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên khoảng giá trị của \(x\), từ đó suy ra bất đẳng thức bậc hai.

- Tìm điều kiện để bất phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( {1 - {x^2}} \right) - f\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right) > {x^2} - 2mx + 3{m^2}\\ \Leftrightarrow f\left( {1 - {x^2}} \right) - \left( {1 - {x^2}} \right) > f\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right) - \left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(y = f\left( t \right) - t\) \(\left( {t \le 1} \right)\) ta có \(y' = f'\left( t \right) - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\) thì \(f'\left( t \right) \le 1 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - 1 \le 0\,\,\forall t \le 1\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( t \right) - t\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Mà \(y\left( {1 - {x^2}} \right) > y\left( { - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - {x^2} > - 2{x^2} + 2mx + 1 - 3{m^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 3{m^2} < 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(\Delta {'_*} = {m^2} - 3{m^2} = - 2{m^2} \le 0\,\,\forall m\) nên \({x^2} - 2mx + 3{m^2} \ge 0\,\,\forall m\), do đó bất phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy không có giá trị nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.