Cho đồ thị hàm số đa thức $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của

Câu hỏi số 490213:

Vận dụng cao

Cho đồ thị hàm số đa thức $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 2020;2021} \right]$ để hàm số $g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - mf\left( x \right)$ có đúng hai điểm cực đại là:

2007

$2007$

2021

$2021$

2019

$2019$

2022

$2022$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490213

Giải chi tiết

Ta có $g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - mf\left( x \right)$ $\Rightarrow g'\left( x \right) = 2f\left( x \right)f'\left( x \right) - mf'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {2f\left( x \right) - m} \right]$

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = \dfrac{m}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\,\,\left( {0 < a < b} \right)$ .

TH1: $\dfrac{m}{2} > 5 \Leftrightarrow m > 10$ . Suy ra phương trình (2) vô nghiệm và $f\left( x \right) < \dfrac{m}{2}\,\,\forall x$ nên dấu của $g'\left( x \right)$ ngược dấu với $f'\left( x \right)$ , do đó hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).

TH2: $\dfrac{m}{2} = 5 \Leftrightarrow m = 10$ . Suy ra phương trình (2) có nghiệm kép và $f\left( x \right) \le \dfrac{m}{2}\,\,\forall x$ nên dấu của $g'\left( x \right)$ ngược dấu với $f'\left( x \right)$ , do đó hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).

TH3: $1 < \dfrac{m}{2} < 5 \Leftrightarrow 2 < m < 10$ . Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $x = c,\,\,x = d\,\,\left( {a < c < d < b} \right)$ .

Ta có BXD:

Dựa vào BXD ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại $\Rightarrow$ Thỏa mãn.

TH4: $\dfrac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2$ . Suy ra phương trình $f\left( x \right) = \dfrac{m}{2}$ có 3 nghiệm phân biệt $x = 0$ (nghiệm kép), $x = c,\,\,x = d\,\,\left( {a < c < d < b} \right)$ .

Tương tự TH3 hàm số $g\left( x \right)$ cũng có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu $\Rightarrow$ Thỏa mãn.

TH5: $- 1 < \dfrac{m}{2} < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$ . Suy ra phương trình $f\left( x \right) = \dfrac{m}{2}$ có 4 nghiệm phân biệt, lập BXD tương tự TH3 ta có hàm số $g\left( x \right)$ có 4 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại $\Rightarrow$ Không thỏa mãn.

TH6: $\dfrac{m}{2} = - 1$ $\Leftrightarrow m = - 2$ . Hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).

TH7: $\dfrac{m}{2} < - 1 \Leftrightarrow m < - 2$ . Hàm số $g\left( x \right)$ có ba điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).

Kết hợp các TH ta có $m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2;10} \right)$ .

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m \in \left[ { - 2000; - 2} \right] \cup \left[ {2;9} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}$ .

Vậy có $1999 + 8 = 2007$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.