Cho đồ thị hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của

Câu hỏi số 490213:

Vận dụng cao

Cho đồ thị hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2021} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - mf\left( x \right)\) có đúng hai điểm cực đại là:

A. \(2007\)

B. \(2021\)

C. \(2019\)

D. \(2022\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490213

Giải chi tiết

Ta có \(g\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - mf\left( x \right)\) \( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2f\left( x \right)f'\left( x \right) - mf'\left( x \right) = f'\left( x \right)\left[ {2f\left( x \right) - m} \right]\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = \dfrac{m}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\,\,\left( {0 < a < b} \right)\).

TH1: \(\dfrac{m}{2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\). Suy ra phương trình (2) vô nghiệm và \(f\left( x \right) < \dfrac{m}{2}\,\,\forall x\) nên dấu của \(g'\left( x \right)\) ngược dấu với \(f'\left( x \right)\), do đó hàm số \(g\left( x \right)\) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).

TH2: \(\dfrac{m}{2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\). Suy ra phương trình (2) có nghiệm kép và \(f\left( x \right) \le \dfrac{m}{2}\,\,\forall x\) nên dấu của \(g'\left( x \right)\) ngược dấu với \(f'\left( x \right)\), do đó hàm số \(g\left( x \right)\) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu (không thỏa mãn).

TH3: \(1 < \dfrac{m}{2} < 5 \Leftrightarrow 2 < m < 10\). Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \(x = c,\,\,x = d\,\,\left( {a < c < d < b} \right)\).

Ta có BXD:

Dựa vào BXD ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

TH4: \(\dfrac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\). Suy ra phương trình \(f\left( x \right) = \dfrac{m}{2}\) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0\) (nghiệm kép), \(x = c,\,\,x = d\,\,\left( {a < c < d < b} \right)\).

Tương tự TH3 hàm số \(g\left( x \right)\) cũng có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

TH5: \( - 1 < \dfrac{m}{2} < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\). Suy ra phương trình \(f\left( x \right) = \dfrac{m}{2}\) có 4 nghiệm phân biệt, lập BXD tương tự TH3 ta có hàm số \(g\left( x \right)\) có 4 điểm cực tiểu và 3 điểm cực đại \( \Rightarrow \) Không thỏa mãn.

TH6: \(\dfrac{m}{2} = - 1\) \( \Leftrightarrow m = - 2\). Hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).

TH7: \(\dfrac{m}{2} < - 1 \Leftrightarrow m < - 2\). Hàm số \(g\left( x \right)\) có ba điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại (thỏa mãn).

Kết hợp các TH ta có \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2;10} \right)\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 2000; - 2} \right] \cup \left[ {2;9} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có \(1999 + 8 = 2007\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.