Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\angle ADC = {120^0}$ . Mặt bên

Câu hỏi số 490214:

Vận dụng cao

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\angle ADC = {120^0}$ . Mặt bên $DCC'D'$ là hình chữ nhật và tạo với mặt đáy một góc ${60^0}$ . Gọi $M,\,\,N,\,\,P,\,\,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,\,\,A'D',\,\,CC',\,\,BB'$ . Tính thể tích của khối đa diện $MNPKA'$ theo $a$ biết $AA' = 2a$ .

$\dfrac{{3{a^3}}}{{16}}$

$\dfrac{{9{a^3}}}{{16}}$

$\dfrac{{9{a^3}}}{{32}}$

$\dfrac{{3{a^3}}}{{32}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490214

Giải chi tiết

Gọi $L,\,\,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $DC,\,\,D'C'$ .

Ta có: $\Delta BCD$ đều nên $ML \bot CD$ .

Lại có $DCC'D'$ là hình chữ nhật nên $QL \bot CD$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = CD\\ML \subset \left( {ABCD} \right),\,\,ML \bot CD\\QL \subset \left( {DCC'D'} \right),\,\,QL \bot CD\end{array} \right.$ $\Rightarrow \angle \left( {\left( {DCC'D'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {ML;QL} \right) = {60^0}$

Ta có: $DC \bot \left( {BLQ} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \bot \left( {BLQ} \right)$ .

$\Rightarrow d\left( {Q;\left( {ABCD} \right)} \right) = \sin \left( {BL;QL} \right).LQ = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3$ .

$\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = d\left( {Q;\left( {ABCD} \right)} \right).2{S_{\Delta BCD}} = a\sqrt 3 .2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}$ .

Vì $PK//A'N$ nên $A',\,\,N,\,\,P,\,\,K$ đồng phẳng.

$\Rightarrow {V_{MNPKA'}} = {V_{M.A'NPK}} = \dfrac{1}{2}{V_{M.A'DPK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{AMK.DLP}} = \dfrac{1}{3}{V_{AMK.D'LP}}$ .

Lại có ${V_{AMK.D'LP}} = \dfrac{3}{8}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{3}{8}.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{9{a^3}}}{{16}}$ .

Vậy ${V_{MNPKA'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{9{a^3}}}{{16}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.