Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\angle ADC = {120^0}\). Mặt bên

Câu hỏi số 490214:

Vận dụng cao

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\angle ADC = {120^0}\). Mặt bên \(DCC'D'\) là hình chữ nhật và tạo với mặt đáy một góc \({60^0}\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,A'D',\,\,CC',\,\,BB'\). Tính thể tích của khối đa diện \(MNPKA'\) theo \(a\) biết \(AA' = 2a\).

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\)

B. \(\dfrac{{9{a^3}}}{{16}}\)

C. \(\dfrac{{9{a^3}}}{{32}}\)

D. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{32}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490214

Giải chi tiết

Gọi \(L,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(DC,\,\,D'C'\).

Ta có: \(\Delta BCD\) đều nên \(ML \bot CD\).

Lại có \(DCC'D'\) là hình chữ nhật nên \(QL \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = CD\\ML \subset \left( {ABCD} \right),\,\,ML \bot CD\\QL \subset \left( {DCC'D'} \right),\,\,QL \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {DCC'D'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {ML;QL} \right) = {60^0}\)

Ta có: \(DC \bot \left( {BLQ} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \bot \left( {BLQ} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {Q;\left( {ABCD} \right)} \right) = \sin \left( {BL;QL} \right).LQ = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = d\left( {Q;\left( {ABCD} \right)} \right).2{S_{\Delta BCD}} = a\sqrt 3 .2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\).

Vì \(PK//A'N\) nên \(A',\,\,N,\,\,P,\,\,K\) đồng phẳng.

\( \Rightarrow {V_{MNPKA'}} = {V_{M.A'NPK}} = \dfrac{1}{2}{V_{M.A'DPK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{AMK.DLP}} = \dfrac{1}{3}{V_{AMK.D'LP}}\).

Lại có \({V_{AMK.D'LP}} = \dfrac{3}{8}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{3}{8}.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{9{a^3}}}{{16}}\).

Vậy \({V_{MNPKA'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{9{a^3}}}{{16}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.