Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {3;1; - 2} \right),\) \(B\left( {1; -

Câu hỏi số 493227:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {3;1; - 2} \right),\) \(B\left( {1; - 5;4} \right)\), \(C\left( {5; - 1;0} \right)\). Biết rằng tập hợp các điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(Oxz\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 10\) là một đường tròn tâm \(H\left( {a;0;c} \right)\) bán kính bằng \(r\). Tính tổng \(T = a + c + r\).

A. \(T = 0\)

B. \(T = 10\)

C. \(T = 6\)

D. \(T = - 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493227

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {3IC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {3 - a} \right) - 2\left( {1 - a} \right) + 3\left( {5 - a} \right) = 0\\\left( {1 - b} \right) - 2\left( { - 5 - b} \right) + 3\left( { - 1 - b} \right) = 0\\\left( { - 2 - c} \right) - 2\left( {4 - c} \right) + 3\left( {0 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 16 = 0\\ - 2b + 8 = 0\\ - 2c - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 4\\c = - 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {8;4; - 5} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {3MC} } \right|\\ = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} } \right|\\ = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = 2MI = 10\,\\ \Rightarrow MI = 5\end{array}\)

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {8;4; - 5} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Lại có \(M \in \left( {Oxz} \right)\) nên \(M\) thuộc đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(y = 0\) nên \(d\left( {I;\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {{y_I}} \right| = 4 = d\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {IH} = \left( {a - 8; - 4;c + 5} \right)\). Vì \(IH \bot \left( {Oxz} \right)\) nên \(\overrightarrow {IH} \) và \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) cùng phương.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 8 = 0\\c + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\c = - 5\end{array} \right.\).

Vậy \(T = a + c + r = 8 + \left( { - 5} \right) + 3 = 6\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.