Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( {3;1; - 2} \right),$ \(B\left( {1; -

Câu hỏi số 493227:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( {3;1; - 2} \right),$ $B\left( {1; - 5;4} \right)$ , $C\left( {5; - 1;0} \right)$ . Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $Oxz$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 10$ là một đường tròn tâm $H\left( {a;0;c} \right)$ bán kính bằng $r$ . Tính tổng $T = a + c + r$ .

$T = 0$

$T = 10$

$T = 6$

$T = - 3$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493227

Giải chi tiết

Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ sao cho $\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {3IC} = \overrightarrow 0$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {3 - a} \right) - 2\left( {1 - a} \right) + 3\left( {5 - a} \right) = 0\\\left( {1 - b} \right) - 2\left( { - 5 - b} \right) + 3\left( { - 1 - b} \right) = 0\\\left( { - 2 - c} \right) - 2\left( {4 - c} \right) + 3\left( {0 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 16 = 0\\ - 2b + 8 = 0\\ - 2c - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 4\\c = - 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\left( {8;4; - 5} \right)$ .

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {3MC} } \right|\\ = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {MI} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IC} } \right|\\ = \left| {2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)} \right|\\ = 2MI = 10\,\\ \Rightarrow MI = 5\end{array}$

$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {8;4; - 5} \right)$ , bán kính $R = 5$ .

Lại có $M \in \left( {Oxz} \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ .

Phương trình mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ là $y = 0$ nên $d\left( {I;\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {{y_I}} \right| = 4 = d$ .

$\Rightarrow$ Bán kính đường tròn giao tuyến là $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3$ .

Ta có $\overrightarrow {IH} = \left( {a - 8; - 4;c + 5} \right)$ . Vì $IH \bot \left( {Oxz} \right)$ nên $\overrightarrow {IH}$ và $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ cùng phương.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 8 = 0\\c + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\c = - 5\end{array} \right.$ .

Vậy $T = a + c + r = 8 + \left( { - 5} \right) + 3 = 6$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.