Cho mặt cầu \(\left( \xi \right)\) có bán kính không đổi \(R\). Một hình chóp lục giác đều
Cho mặt cầu \(\left( \xi \right)\) có bán kính không đổi \(R\). Một hình chóp lục giác đều \(S.ABCDEF\) nội tiếp mặt cầu \(\left( \xi \right)\). Tìm giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\) của thể tích khối chóp \(S.ABCDEF\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(H\) là tâm lục giác đều \(ABCDEF\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCDEF} \right)\) và gọi \(O\) là tâm mặt cầu.
Đặt \(SH = h\,\,\,\left( {R < h < 2R} \right) \Rightarrow OH = h - R\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(H{E^2} = O{E^2} - O{H^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2}\).
Mà \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{HFE}} = 6.\dfrac{{H{E^2}.\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {{R^2} - {{\left( {h - R} \right)}^2}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {2Rh - {h^2}} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{SABCDEFF}} = \dfrac{1}{3}.h.{S_{ABCDEF}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.h.\left( {2Rh - {h^2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {2R{h^2} - {h^3}} \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = 2R{h^2} - {h^3}\) ta có: \(g'\left( x \right) = 4Rh - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3}\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {R;2R} \right)} g\left( x \right) = g\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = 2R.\dfrac{{16{R^2}}}{9} - \dfrac{{64{R^3}}}{{27}} = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\)
Vậy \(\max {V_{SABCDEFF}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{32}}{{27}}{R^3} = \dfrac{{16\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
