Cho mặt cầu \(\left( \xi \right)\) có bán kính không đổi \(R\). Một hình chóp lục giác đều
Cho mặt cầu \(\left( \xi \right)\) có bán kính không đổi \(R\). Một hình chóp lục giác đều \(S.ABCDEF\) nội tiếp mặt cầu \(\left( \xi \right)\). Tìm giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\) của thể tích khối chóp \(S.ABCDEF\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(H\) là tâm lục giác đều \(ABCDEF\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCDEF} \right)\) và gọi \(O\) là tâm mặt cầu.
Đặt \(SH = h\,\,\,\left( {R < h < 2R} \right) \Rightarrow OH = h - R\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(H{E^2} = O{E^2} - O{H^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2}\).
Mà \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{HFE}} = 6.\dfrac{{H{E^2}.\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {{R^2} - {{\left( {h - R} \right)}^2}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {2Rh - {h^2}} \right)\).
\( \Rightarrow {V_{SABCDEFF}} = \dfrac{1}{3}.h.{S_{ABCDEF}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.h.\left( {2Rh - {h^2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {2R{h^2} - {h^3}} \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = 2R{h^2} - {h^3}\) ta có: \(g'\left( x \right) = 4Rh - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3}\).
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {R;2R} \right)} g\left( x \right) = g\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = 2R.\dfrac{{16{R^2}}}{9} - \dfrac{{64{R^3}}}{{27}} = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\)
Vậy \(\max {V_{SABCDEFF}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{32}}{{27}}{R^3} = \dfrac{{16\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
