Cho mặt cầu \(\left( \xi \right)\) có bán kính không đổi \(R\). Một hình chóp lục giác đều \(S.ABCDEF\) nội tiếp mặt cầu \(\left( \xi \right)\). Tìm giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\) của thể tích khối chóp \(S.ABCDEF\).

Câu 493226: Cho mặt cầu \(\left( \xi \right)\) có bán kính không đổi \(R\). Một hình chóp lục giác đều \(S.ABCDEF\) nội tiếp mặt cầu \(\left( \xi \right)\). Tìm giá trị lớn nhất \({V_{\max }}\) của thể tích khối chóp \(S.ABCDEF\).

A. \({V_{\max }} = \dfrac{{8\sqrt 3 {R^3}}}{9}\)

B. \({V_{\max }} = \dfrac{{16\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\)

C. \({V_{\max }} = \dfrac{{8\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\)

D. \({V_{\max }} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^3}}}{8}\)

Câu hỏi : 493226

Quảng cáo

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là tâm lục giác đều \(ABCDEF\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCDEF} \right)\) và gọi \(O\) là tâm mặt cầu.

Đặt \(SH = h\,\,\,\left( {R < h < 2R} \right) \Rightarrow OH = h - R\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(H{E^2} = O{E^2} - O{H^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2}\).

Mà \({S_{ABCDEF}} = 6{S_{HFE}} = 6.\dfrac{{H{E^2}.\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {{R^2} - {{\left( {h - R} \right)}^2}} \right) = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {2Rh - {h^2}} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{SABCDEFF}} = \dfrac{1}{3}.h.{S_{ABCDEF}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.h.\left( {2Rh - {h^2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {2R{h^2} - {h^3}} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = 2R{h^2} - {h^3}\) ta có: \(g'\left( x \right) = 4Rh - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{{4R}}{3}\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {R;2R} \right)} g\left( x \right) = g\left( {\dfrac{{4R}}{3}} \right) = 2R.\dfrac{{16{R^2}}}{9} - \dfrac{{64{R^3}}}{{27}} = \dfrac{{32}}{{27}}{R^3}\)

Vậy \(\max {V_{SABCDEFF}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{32}}{{27}}{R^3} = \dfrac{{16\sqrt 3 {R^3}}}{{27}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.