Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và \(\angle BAD = 120^\circ \). Mặt

Câu hỏi số 493231:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và \(\angle BAD = 120^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

D. \(\dfrac{a}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493231

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Đổi \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BM\). Trong \(\left( {SHN} \right)\) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\), chứng minh \(HK \bot \left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(SH \bot AB\) (do \(\Delta SAB\) đều).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(AH \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BM\). Trong \(\left( {SHN} \right)\) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\) ta có:

\(\Delta ABC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC = a\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\) đêỳ cạnh \(a \Rightarrow AM \bot BC\).

\(HN\) là đường trung bình của tam giác \(ABM\) nên \(HN//AM \Rightarrow HN \bot BC\).

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BC\\HK \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vì \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) nên \(AB = a\) \( \Rightarrow \Delta SAB\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trog tam giác vuông \(SHN\) ta có \(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.