Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $\angle BAD = 120^\circ$ . Mặt

Câu hỏi số 493231:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $\angle BAD = 120^\circ$ . Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SBC} \right)$ .

\frac{a \sqrt{7}}{7}

$\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}$

\frac{a \sqrt{3}}{4}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$

\frac{a \sqrt{15}}{5}

$\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}$

\frac{a}{2}

$\dfrac{a}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493231

Phương pháp giải

- Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ , chứng minh $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ .

- Đổi $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)$ sang $d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)$ .

- Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,\,BM$ . Trong $\left( {SHN} \right)$ kẻ $HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)$ , chứng minh $HK \bot \left( {SAB} \right)$ .

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ ta có $SH \bot AB$ (do $\Delta SAB$ đều).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$ .

Ta có $AH \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2$ $\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)$ .

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,\,BM$ . Trong $\left( {SHN} \right)$ kẻ $HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)$ ta có:

$\Delta ABC$ có $\left\{ \begin{array}{l}AB = BC = a\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC$ đêỳ cạnh $a \Rightarrow AM \bot BC$ .

$HN$ là đường trung bình của tam giác $ABM$ nên $HN//AM \Rightarrow HN \bot BC$ .

Ta có: $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BC\\HK \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\end{array}$

Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$ .

Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ nên $AB = a$ $\Rightarrow \Delta SAB$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trog tam giác vuông $SHN$ ta có $HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}$ .

Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.