Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và \(\angle BAD = 120^\circ \). Mặt

Câu hỏi số 493231:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và \(\angle BAD = 120^\circ \). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

D. \(\dfrac{a}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493231

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Đổi \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BM\). Trong \(\left( {SHN} \right)\) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\), chứng minh \(HK \bot \left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(SH \bot AB\) (do \(\Delta SAB\) đều).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(AH \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,BM\). Trong \(\left( {SHN} \right)\) kẻ \(HK \bot SN\,\,\left( {K \in SN} \right)\) ta có:

\(\Delta ABC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC = a\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC\) đêỳ cạnh \(a \Rightarrow AM \bot BC\).

\(HN\) là đường trung bình của tam giác \(ABM\) nên \(HN//AM \Rightarrow HN \bot BC\).

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HN\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot BC\\HK \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \dfrac{1}{2}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vì \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) nên \(AB = a\) \( \Rightarrow \Delta SAB\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trog tam giác vuông \(SHN\) ta có \(HK = \dfrac{{SH.HN}}{{\sqrt {S{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.