Cho hai số phức ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1,\,\,\left| {{z_2} - 2 + i}

Câu hỏi số 494750:

Vận dụng cao

Cho hai số phức ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1,\,\,\left| {{z_2} - 2 + i} \right| = 2$ . Số phức $z$ thỏa mãn $\left( {\overline z - \overline {{z_1}} } \right)\left( {1 + i - {z_1}} \right)$ và $\left( {\overline z - \overline {{z_2}} } \right)\left( {2 - i - {z_2}} \right)$ là các số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| {z - 3 - 2i} \right|$ .

$0$

$3$

$2$

$1$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494750

Giải chi tiết

Giả sử ${z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i,\,\,z = x + yi$ .

Gọi các điểm biểu diễn số phức ${z_1},\,\,{z_2},\,\,z$ lần lượt là ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right),\,\,M\left( {x;y} \right)$ .

Ta có:

$\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1 \Rightarrow {M_1} \in \left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;1} \right)$ , bán kính ${R_1} = 1$ .

$\left| {{z_2} - 2 + i} \right| = 2 \Rightarrow {M_2} \in \left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( {2; - 1} \right)$ , bán kính ${R_2} = 2$ .

$\left( {\overline z - \overline {{z_1}} } \right)\left( {1 + i - {z_1}} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( {x - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_1}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right)\left( {1 - {y_1}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {{M_1}M} \bot \overrightarrow {{M_1}{I_1}} \Leftrightarrow M{M_1}$ là tiếp tuyến của $\left( {{C_1}} \right)$ .

$\left( {\overline z - \overline {{z_2}} } \right)\left( {2 - i - {z_2}} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left( {x - {x_2}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_2}} \right)\left( { - 1 - {y_2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {{M_2}M} \bot \overrightarrow {{M_2}{I_2}} \Leftrightarrow M{M_2}$ là tiếp tuyến của $\left( {{C_2}} \right)$ .

Ta có: $A\left( {3;2} \right)$ nằm ngoài đường tròn $\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)$ nên từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới 2 đường tròn trên.

$\Rightarrow \left| {z - 3 - 2i} \right| = MA$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi $M \equiv A$ .

Vậy ${\left| {z - 3 - 2i} \right|_{\min }} = 0$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.