Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1,\,\,\left| {{z_2} - 2 + i}

Câu hỏi số 494750:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1,\,\,\left| {{z_2} - 2 + i} \right| = 2\). Số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {\overline z - \overline {{z_1}} } \right)\left( {1 + i - {z_1}} \right)\) và \(\left( {\overline z - \overline {{z_2}} } \right)\left( {2 - i - {z_2}} \right)\) là các số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 3 - 2i} \right|\).

A. \(0\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:494750

Giải chi tiết

Giả sử \({z_1} = {x_1} + {y_1}i,\,\,{z_2} = {x_2} + {y_2}i,\,\,z = x + yi\).

Gọi các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,z\) lần lượt là \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,{M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right),\,\,M\left( {x;y} \right)\).

Ta có:

\(\left| {{z_1} - 1 - i} \right| = 1 \Rightarrow {M_1} \in \left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;1} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\).

\(\left| {{z_2} - 2 + i} \right| = 2 \Rightarrow {M_2} \in \left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {2; - 1} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\).

\(\left( {\overline z - \overline {{z_1}} } \right)\left( {1 + i - {z_1}} \right)\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow \left( {x - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_1}} \right) + \left( {y - {y_1}} \right)\left( {1 - {y_1}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_1}M} \bot \overrightarrow {{M_1}{I_1}} \Leftrightarrow M{M_1}\) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_1}} \right)\).

\(\left( {\overline z - \overline {{z_2}} } \right)\left( {2 - i - {z_2}} \right)\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow \left( {x - {x_2}} \right)\left( {2 - {x_2}} \right) + \left( {y - {y_2}} \right)\left( { - 1 - {y_2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_2}M} \bot \overrightarrow {{M_2}{I_2}} \Leftrightarrow M{M_2}\) là tiếp tuyến của \(\left( {{C_2}} \right)\).

Ta có: \(A\left( {3;2} \right)\) nằm ngoài đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)\) nên từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới 2 đường tròn trên.

\( \Rightarrow \left| {z - 3 - 2i} \right| = MA\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi \(M \equiv A\).

Vậy \({\left| {z - 3 - 2i} \right|_{\min }} = 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.