Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left(

Câu hỏi số 496116:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau, \(SB = a\sqrt 3 \), góc giữa \(SC\) và \(\left( {SAB} \right)\) là \({45^0}\) và \(\angle ASB = {30^0}\). Gọi thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V\). Tỉ số \(\dfrac{{{a^3}}}{V}\) là:

A. \(\dfrac{8}{3}\)

B. \(\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{4}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:496116

Giải chi tiết

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Leftrightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Khi đó \(SB\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {SAB} \right)\) nên \(\angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle BSC = {45^0}\).

Xét tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(SA = SB.\cos {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\), \(AB = SB.\sin {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(SB \bot BC\) \( \Rightarrow \Delta SBC\) vuông cân tại \(B\) nên \(BC = SB = a\sqrt 3 \).

Lại có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3{a^2}}}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

Vậy \(\dfrac{{{a^3}}}{V} = \dfrac{8}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.