Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| w \right| = 2\). Khi \(\left| {z +

Câu hỏi số 498760:

Vận dụng cao

Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và \(\left| w \right| = 2\). Khi \(\left| {z + i\overline w - 6 + 8i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z - w} \right|\) bằng:

A. \(3\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {29} }}{5}\)

C. \(\sqrt 5 \)

D. \(\dfrac{{\sqrt {221} }}{5}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:498760

Giải chi tiết

Dùng phương pháp hình học \( \to \) Kỹ năng dồn số phức.

* \(P = \left| {z + i\,\overline w - 6 + 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|\).

Trong đó: \(\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 + 8i\\v = - i\overline w \end{array} \right.\), \(u\) có điểm biểu diễn là \(A\), \(v\) có điểm biểu diễn là \(B\).

\( \Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow \) Cần đạt Min.

* \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 + 8i} \right) + 6 - 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 - 8i} \right| = 1\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(A\) biểu diễn số phức \(u\) là đường tròn: \(\left( {{C_1}} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 6;8} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.\).

* \(\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\overline w } \right| = \left| { - i} \right|.2\) \( \Rightarrow \left| { - i\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2\).

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(B\) biểu diễn số phức \(v\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;0} \right)\\{R_2} = 2\end{array} \right.\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}IA = {R_1} = 1\\OB = {R_2} = 2\\OI = 10\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7\).

Min đạt được khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 27}}{5};\dfrac{{36}}{5}} \right) \Rightarrow u = - \dfrac{{27}}{5} + \dfrac{{36}}{5}i\\\overrightarrow {OB} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI} \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 6}}{5};\dfrac{8}{5}} \right) \Rightarrow v = - \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = u + 6 - 8i = \dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i\\ - i\overline w = v \Rightarrow \overline w = \dfrac{v}{{ - i}} = \dfrac{{ - \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} = - \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i \Rightarrow w = - \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} - \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( { - \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {221} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.