Hoàn thành bài sau:

Trả lời cho các câu 502732, 502733 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB = 2R,$ gọi $I$ là trung điểm của đoạn $OA.$ Vẽ tia $Ix$ vuông góc với $AB$ cắt nửa đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$ . Lấy điểm $E$ trên cung nhỏ $BC\,\left( {E \ne B,E \ne C} \right)$ , nối $AE$ cắt $CI$ tại $F$ .

Chứng minh rằng $BEFI$ là tứ giác nội tiếp
Gọi $K$ là giao điểm của hai tia $BE$ và $Ix.$ Giả sử $F$ là trung điểm của $IC.$ Chứng minh rằng $\Delta AIF \sim \Delta KIB$ . Tính $IK$ theo $R$ .

Xem lời giải

Câu hỏi:502733

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ lệ của các cặp cạnh tương ứng trong tam giác đồng dạng để tính toán

Giải chi tiết

Ta có : $\widehat {AEB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\hat{B I F} = 90^{0} (D o I x ⊥ A B)

$\widehat {BIF} = {90^0}\left( {Do\,\,\,Ix \bot AB} \right)$

Tứ giác $BEFI$ có: $\angle AEB + \angle BIF = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $BEFI$ là tứ giác nội tiếp .

Do tứ giác $BEFI$ nội tiếp nên $\widehat {AFI} = \widehat {KIB}$

Xét

Δ A I F

$\Delta AIF$ và

Δ K I B

$\Delta KIB$ có:

\hat{A F I} = \hat{K B I}

$\widehat {AFI} = \widehat {KBI}$ (cmt);

\hat{A I F} = \hat{K I B} = 90^{0}

$\widehat {AIF} = \widehat {KIB} = {90^0}$

\Rightarrow Δ A I F \sim Δ K I B

$\Rightarrow \Delta AIF \sim \Delta KIB$

Xét $\Delta ACB$ có $\widehat {ACB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $CI \bot AB$

Suy ra $C{I^2} = AI.IB = \frac{R}{2}.\frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow CI = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow IF = \frac{{CI}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{4}$

Do $\Delta AIF \sim \Delta KIB$ nên $\frac{{AI}}{{KI}} = \frac{{IF}}{{IB}} \Rightarrow KI = \frac{{AI.IB}}{{IF}} = \frac{R}{2}.\frac{{3R}}{2}.\frac{4}{{R\sqrt 3 }} = R\sqrt 3$

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH.$ Gọi $I,J,K$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC,ABH,ACH.$ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ và đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có bán kính bằng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi:502734

Phương pháp giải

Gọi $M,N$ là giao điểm của $AJ,AK$ với $BC,$ ta sẽ chứng minh 5 điểm $I,J,K,M,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MN$ , với $MN = 2r$

Giải chi tiết

Gọi $M,N$ là giao điểm của $AJ,AK$ với $BC,$ hạ $ID \bot BC$

Ta có: $\widehat {BAN} = {90^0} - \widehat {NAC} = {90^0} - \widehat {NAH} = \widehat {BNA} \Rightarrow ABN$ cân tại $B$

Tương tự $\Delta ACM$ cân tại $C$

Do đó, $IA = IM = IN$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN \Rightarrow \widehat {MIN} = 2\widehat {MAN} = 2.\frac{{90^\circ }}{2} = 90^\circ$

Suy ra $\Delta MIN$ vuông tại $I \Rightarrow MN = 2ID = 2r$ ( $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ )

Vì $CK$ là trung trực của $AM$ nên $\widehat {KMC} = \widehat {KAC} = \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {IBC}$ nên $MK{\rm{ // }}BI$ . Mà $BI$ là trung trực của $AN$ nên $MK \bot AN$ , tương tự $NJ \bot AM$ .

Do đó các điểm $I,J,K$ nằm trên đườn tròn đường kính $MN$ có bán kính $r$

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác $IJK$ và đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có bán kính bằng nhau.

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.