Hoàn thành bài sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì \(n\left( {2n + 7} \right)\left( {7n + 1} \right)\) luôn chia hét cho 6.

Xem lời giải

Câu hỏi:502730

Phương pháp giải

Xét các trường hợp \(n = 3k,n = 3k + 1,n = 3k + 2\), dễ thấy đều thỏa mãn

Giải chi tiết

Gọi \(A = n\left( {2n + 7} \right)\left( {7n + 1} \right)\)

Ta có trong hai số \(n\) và \(7n + 1\) phải có một số chẵn nên \(n\left( {2n + 7} \right)\left( {7n + 1} \right)\) luôn chia hết cho \(2\)

Với \(n \in \mathbb{N},\)ta có ba trường hợp sau :

\(\begin{array}{l}TH1:n = 3k\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow A = 3k\left( {6k + 7} \right)\left( {21k + 1} \right) \vdots 3 & & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\TH2:n = 3k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow A = \left( {3k + 1} \right)\left( {6k + 9} \right)\left( {21k + 8} \right) \vdots 3 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\TH3:n = 3k + 2\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow A = \left( {3k + 2} \right)\left( {6k + 11} \right)\left( {21k + 15} \right) \vdots 3 & (3)\end{array}\)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(A \vdots 3,\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow A \vdots 6,\forall n \in \mathbb{N}\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(4a + 1\) và \(4b - 1\) nguyên tố cùng nhau, \(a + b\) là ước của \(16ab + 1\).

Xem lời giải

Câu hỏi:502731

Phương pháp giải

Khéo léo sử dụng tính chất số học: Nếu \(ab \vdots c\) và \(\gcd \left( {a,c} \right) = 1\) thì \(b \vdots c\)

Giải chi tiết

Giả sử \(\left( {a,b} \right)\)là cặp số nguyên dương thỏa mãn Giải Câu toán

Khi đó \(\left( {4a + 1;4b + 1} \right) = 1\) và \(\left( {16ab + 1} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left( {4a + 1} \right)\left( {4b + 1} \right) = \left( {16ab + 1} \right) + 4\left( {a + b} \right)\) chia hết cho \(a + b\left( 2 \right)\)

Ta có: \(4a + 1 + 4b - 1 = 4\left( {a + b} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\)

Nếu \(4a + 1;a + b\) cùng chia hết cho số nguyên tố \(p\) thì \(4b - 1\) cũng chia hết cho \(p,\)điều này mâu thuẫn vì \(\left( {4a + 1;4b - 1} \right) = 1\)

Do đó, \(\left( {4a + 1;a + b} \right) = 1\), từ (2) suy ra \(\left( {4b + 1} \right) \vdots \left( {a + b} \right)\)

Đặt \(\left( {4b + 1} \right) = k\left( {a + b} \right)\) với \(k \in N*,k \le 3\)

Với \(k = 3:4b + 1 = 3a + 3b \Rightarrow b = 3a - 1 \Rightarrow \left( {a,b} \right) = \left( {t,3t - 1} \right)\) với \(t \in N*\)

Với \(k = 2:4b + 1 = 2a + 2b \Rightarrow 2b = 2a - 1\), không tồn tại \(a,b\) vì vế trái chẵn, vế phải lẻ

Với \(k = 1:4b + 1 = a + b \Rightarrow a = 3b + 1 \Rightarrow \left( {a,b} \right) = \left( {3m + 1,m} \right)\) với \(m \in N*\)

Ngược lại, dễ dàng chứng minh được với \(\left( {a,b} \right) = \left( {t,3t - 1} \right)\) ( \(t \in N*\)) hoặc \(\left( {a,b} \right) = \left( {3m + 1,m} \right)\) (\(m \in N*\)) thỏa mãn các điều kiện \(4a + 1\) và \(4b - 1\) nguyên tố cùng nhau và \(a + b\) là ước của \(16ab + 1\).

Vậy \(\left( {a,b} \right) = \left( {t,3t - 1} \right)\) ( \(t \in N*\)) hoặc \(\left( {a,b} \right) = \left( {3m + 1,m} \right)\) (\(m \in N*\)).

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link