Rút gọn phân thức sau: \(A = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left(

Câu hỏi số 503171:

Vận dụng cao

Rút gọn phân thức sau: \(A = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\) . Chứng minh rằng: Phân thức trên không phụ thuộc vào \(x\), có nghĩa với mọi \(x\) và \(a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:503171

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và hằng đẳng thức

Giải chi tiết

\(A = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + {x^2}a + a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}{{{x^2} - {x^2}a - a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) + a\left( {{x^2} + 1} \right) + {a^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right) - a\left( {{x^2} + 1} \right) + {a^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}\end{array}\)

Vì \({x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên ta có: \(A = \frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\)

Mặt khác: \({a^2} - a + 1 = {a^2} - 2.\frac{1}{2}.a + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy \(A = \frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\) không phụ thuộc vào \(x\), có nghĩa với mọi \(x\) và \(a\).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link