Rút gọn phân thức sau: \(A = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left(

Câu hỏi số 503171:

Vận dụng cao

Rút gọn phân thức sau: \(A = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\) . Chứng minh rằng: Phân thức trên không phụ thuộc vào \(x\), có nghĩa với mọi \(x\) và \(a\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:503171

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử và hằng đẳng thức

Giải chi tiết

\(A = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + {x^2}a + a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}{{{x^2} - {x^2}a - a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) + a\left( {{x^2} + 1} \right) + {a^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right) - a\left( {{x^2} + 1} \right) + {a^2}\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}\end{array}\)

Vì \({x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên ta có: \(A = \frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\)

Mặt khác: \({a^2} - a + 1 = {a^2} - 2.\frac{1}{2}.a + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy \(A = \frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\) không phụ thuộc vào \(x\), có nghĩa với mọi \(x\) và \(a\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link