Cho \(x\) là số thực bất kì. Tìm GTNN của biểu thức: \(T = \frac{{{x^2} + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} +

Câu hỏi số 511103:

Vận dụng cao

Cho \(x\) là số thực bất kì. Tìm GTNN của biểu thức: \(T = \frac{{{x^2} + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} + \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} }}{{{x^2} + 7}}\)

A. \(\min T = \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = 1\)

B. \(\min T = - \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = 1\)

C. \(\min T = - \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = \pm 1\)

D. \(\min T = \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = \pm 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:511103

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Co-si cho hai số \(\sqrt {{x^2} + 3} \) và \(\frac{4}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}\) để tìm giá trị nhot nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Co-si ta có:

\(\frac{{{x^2} + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{{\left( {{x^2} + 3} \right) + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \sqrt {{x^2} + 3} + \frac{4}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 3} .\frac{4}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} = 2\sqrt 4 = 4\)

Đặt: \(a = \frac{{{x^2} + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} \ge 4 \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} }}{{{x^2} + 7}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = a + \frac{1}{a} = \left( {\frac{a}{{16}} + \frac{1}{a}} \right) + \frac{{15a}}{{16}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 2.\sqrt {\frac{a}{{16}}.\frac{1}{a}} + \frac{{15.4}}{{16}} = \frac{1}{2} + \frac{{15}}{4} = \frac{{17}}{4}\end{array}\)

(Bất đẳng thức cô-si)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{16}} = \frac{1}{a}\\a = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 7}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7 = 4\sqrt {{x^2} + 3} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 7} \right)^2} = 16\left( {{x^2} + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + 14{x^2} + 49 = 16{x^2} + 48\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}\)

Vậy \(\min T = \frac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link