Hoàn thành bài tập sau:a) Chứng minh rằng \(A = 1 + 5 + {5^2} + \ldots + {5^{402}} + {5^{403}} +

Câu hỏi số 514834:

Nhận biết

Hoàn thành bài tập sau:

a) Chứng minh rằng $A = 1 + 5 + {5^2} + \ldots + {5^{402}} + {5^{403}} + {5^{404}}$ chia hết cho $31$ .

b) Tìm số dư khi chia $B$ cho $7$ , biết rằng: $B = 1 + 2 + {2^2} + \ldots + {2^{2001}} + {2^{2002}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514834

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết cho một tích, tổng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng $A = 1 + 5 + {5^2} + \ldots + {5^{402}} + {5^{403}} + {5^{404}}$ chia hết cho $31$ .

$\begin{array}{l}A = 1 + 5 + {5^2} + \ldots + {5^{402}} + {5^{403}} + {5^{404}}\\A = \left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + \left( {{5^3} + {5^4} + {5^5}} \right) + \ldots + \left( {{5^{402}} + {5^{403}} + {5^{404}}} \right)\\A = \left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + {5^3}.\left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + \ldots + {5^{402}}.\left( {1 + 5 + {5^2}} \right)\\A = \left( {1 + 5 + {5^2}} \right).\left( {1 + {5^3} + \ldots + {5^{402}}} \right)\\A = 31.\left( {1 + {5^3} + \ldots + {5^{402}}} \right)\,\, \vdots \,\,31\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,31\end{array}$

b) Tìm số dư khi chia $B$ cho $7$ , biết rằng: $B = 1 + 2 + {2^2} + \ldots + {2^{2001}} + {2^{2002}}$

$\begin{array}{l}B = 1 + 2 + {2^2} + \ldots + {2^{2001}} + {2^{2002}}\\B = \left( {1 + 2} \right) + \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7}} \right) + \ldots + \left( {{2^{2000}} + {2^{2001}} + {2^{2002}}} \right)\\B = \left( {1 + 2} \right) + \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7}} \right) + \ldots + \left( {{2^{2000}} + {2^{2001}} + {2^{2002}}} \right)\\B = 3 + {2^2}.\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^5}.\left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + \ldots + {2^{2000}}.\left( {1 + 2 + {2^2}} \right)\\B = 3 + \left( {1 + 2 + {2^2}} \right).\left( {{2^2} + {2^5} + \ldots + {2^{2000}}} \right)\end{array}$

$\Rightarrow B$ chia $7$ dư $3$ .

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.